Номер 1188, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1188. В чемпионате области по футболу участвует 30 команд. Сколько игр необходимо сыграть, чтобы каждая команда встретилась с каждой по одному разу?

Чтобы определить общее количество игр, необходимое для того, чтобы каждая из 30 команд сыграла с каждой другой командой ровно один раз, можно применить логические рассуждения или формулу из комбинаторики.

Способ 1: Логический подсчет

Каждая из 30 команд должна сыграть со всеми остальными. Для одной команды это $30 - 1 = 29$ игр. Если мы умножим количество команд на число игр для каждой из них, то получим $30 \times 29 = 870$.

Однако при таком подходе каждая игра будет посчитана дважды. Например, игра между командой А и командой Б будет учтена в списке игр для команды А и в списке игр для команды Б. Поскольку каждая игра проводится между двумя командами, для получения истинного количества игр результат нужно разделить на 2.

Количество игр = $ \frac{30 \times 29}{2} = \frac{870}{2} = 435 $.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Данная задача сводится к нахождению количества уникальных пар, которые можно составить из 30 команд. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний, так как порядок команд в паре (кто хозяин, а кто гость) не имеет значения для подсчета общего количества игр.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом: $ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $

В нашем случае общее количество команд $n = 30$, а в каждой игре участвуют $k = 2$ команды. Подставляем эти значения в формулу: $ C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{28! \cdot 29 \cdot 30}{2 \cdot 1 \cdot 28!} = \frac{29 \cdot 30}{2} = 435 $.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 435