Номер 1192, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1192. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Верёвкой длиною 5 аршин связали 100 копий. Спрашивается, сколько таких же копий можно связать другой верёвкой длиною $7\frac{1}{2}$ аршина (предполагается, что пучки копий обвязывают верёвкой по окружности).

Для решения этой задачи предположим, что количество копий, которое можно связать верёвкой, пропорционально площади поперечного сечения пучка, который эта верёвка обвязывает.

Обозначим:

• $L_1$ — длина первой верёвки.
• $N_1$ — количество копий, связанных первой верёвкой.
• $L_2$ — длина второй верёвки.
• $N_2$ — количество копий, которые можно связать второй верёвкой.

По условию:

$L_1 = 5$ аршин
$N_1 = 100$ копий
$L_2 = 7 \frac{1}{2} = 7.5$ аршина

Длина верёвки представляет собой длину окружности поперечного сечения пучка копий. Пусть $C$ — длина окружности, а $S$ — её площадь. Связь между ними выражается следующими формулами:

$C = 2 \pi R$ (где $R$ — радиус круга)

$S = \pi R^2$

Из первой формулы выразим радиус $R = \frac{C}{2\pi}$ и подставим его во вторую формулу, чтобы связать площадь с длиной окружности:

$S = \pi (\frac{C}{2\pi})^2 = \pi \frac{C^2}{4\pi^2} = \frac{C^2}{4\pi}$

Из этой формулы видно, что площадь сечения $S$ пропорциональна квадрату длины окружности $C$ (а значит, и квадрату длины верёвки $L$, так как $L=C$).

Поскольку количество копий $N$ пропорционально площади сечения $S$, то оно также пропорционально квадрату длины верёвки $L$:

$N \propto S \propto L^2$

Следовательно, мы можем составить пропорцию:

$\frac{N_2}{N_1} = \frac{L_2^2}{L_1^2} = (\frac{L_2}{L_1})^2$

Теперь мы можем найти $N_2$, подставив известные значения:

$N_2 = N_1 \cdot (\frac{L_2}{L_1})^2 = 100 \cdot (\frac{7.5}{5})^2$

Выполним вычисления:

$\frac{7.5}{5} = 1.5$

$N_2 = 100 \cdot (1.5)^2 = 100 \cdot 2.25 = 225$

Таким образом, второй верёвкой можно связать 225 копий.

Ответ: 225.