Номер 1195, страница 295 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1195. Трое рабочих выполняют одинаковую работу: первый за 12 ч, второй за 15 ч, третий за 20 ч. Сколько часов затратят рабочие на выполнение этой работы?

Для решения этой задачи примем весь объем работы за 1 (единицу). Тогда производительность каждого рабочего (часть работы, выполняемая за 1 час) будет обратной величиной времени, затрачиваемого им на выполнение всей работы.

1. Производительность первого рабочего составляет $P_1 = \frac{1}{12}$ часть работы в час.

2. Производительность второго рабочего составляет $P_2 = \frac{1}{15}$ часть работы в час.

3. Производительность третьего рабочего составляет $P_3 = \frac{1}{20}$ часть работы в час.

4. При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность $P_{общ}$:

$P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}$

5. Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 12, 15 и 20 является 60.

$\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}$

$\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{4}{60}$

$\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{3}{60}$

6. Теперь сложим полученные дроби:

$P_{общ} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{5+4+3}{60} = \frac{12}{60}$

7. Сократим полученную дробь:

$P_{общ} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

Это означает, что, работая вместе, трое рабочих выполняют $\frac{1}{5}$ всей работы за один час.

8. Чтобы найти общее время $T$, которое потребуется рабочим для выполнения всей работы, нужно разделить всю работу (1) на их общую производительность ($\frac{1}{5}$):

$T = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \cdot 5 = 5$ часов.

Ответ: 5 часов.