Страница 295 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1195. Трое рабочих выполняют одинаковую работу: первый за 12 ч, второй за 15 ч, третий за 20 ч. Сколько часов затратят рабочие на выполнение этой работы?

Для решения этой задачи примем весь объем работы за 1 (единицу). Тогда производительность каждого рабочего (часть работы, выполняемая за 1 час) будет обратной величиной времени, затрачиваемого им на выполнение всей работы.

1. Производительность первого рабочего составляет $P_1 = \frac{1}{12}$ часть работы в час.

2. Производительность второго рабочего составляет $P_2 = \frac{1}{15}$ часть работы в час.

3. Производительность третьего рабочего составляет $P_3 = \frac{1}{20}$ часть работы в час.

4. При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность $P_{общ}$:

$P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}$

5. Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 12, 15 и 20 является 60.

$\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}$

$\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{4}{60}$

$\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{3}{60}$

6. Теперь сложим полученные дроби:

$P_{общ} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{5+4+3}{60} = \frac{12}{60}$

7. Сократим полученную дробь:

$P_{общ} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

Это означает, что, работая вместе, трое рабочих выполняют $\frac{1}{5}$ всей работы за один час.

8. Чтобы найти общее время $T$, которое потребуется рабочим для выполнения всей работы, нужно разделить всю работу (1) на их общую производительность ($\frac{1}{5}$):

$T = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \cdot 5 = 5$ часов.

Ответ: 5 часов.

1196. Задача П.Л. Чебышёва. Мальчик сказал: «Если мне дадут ещё 40 орехов, то у меня будет столько же, сколько у моего брата. А если мне дадут 90 орехов, то у меня станет в 2 раза больше, чем у моего брата». Сколько орехов у каждого?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество орехов у мальчика, а $y$ — количество орехов у его брата.

Основываясь на условиях задачи, можно составить систему из двух уравнений.

Первое условие: «Если мне дадут ещё 40 орехов, то у меня будет столько же, сколько у моего брата». Это можно выразить уравнением:

$x + 40 = y$

Второе условие: «А если мне дадут 90 орехов, то у меня станет в 2 раза больше, чем у моего брата». Это соответствует второму уравнению:

$x + 90 = 2y$

Таким образом, мы получили систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x + 40 \\ x + 90 = 2y \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x + 90 = 2(x + 40)$

Теперь решим полученное уравнение для нахождения $x$. Сначала раскроем скобки:

$x + 90 = 2x + 80$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$90 - 80 = 2x - x$

$x = 10$

Следовательно, у мальчика изначально было 10 орехов.

Теперь найдем количество орехов у брата ($y$), подставив найденное значение $x$ в первое уравнение:

$y = 10 + 40$

$y = 50$

Значит, у брата было 50 орехов.

Проверка

1. Если мальчику дать 40 орехов, у него станет $10 + 40 = 50$ орехов. Это столько же, сколько у брата (50). Условие выполняется.

2. Если мальчику дать 90 орехов, у него станет $10 + 90 = 100$ орехов. Это в два раза больше, чем у брата ($50 \cdot 2 = 100$). Условие также выполняется.

Решение верное.

Ответ: у мальчика 10 орехов, у его брата 50 орехов.

1197. Старинная задача (Китай, I в.). Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесёт по 8 (денежных единиц), то избыток равен 3. Если каждый человек внесёт по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Для решения этой задачи введем две переменные. Пусть $x$ — это количество людей, а $y$ — это стоимость вещи в денежных единицах.

Исходя из первого условия задачи, мы можем составить первое уравнение. Если каждый из $x$ человек внесет по 8 денежных единиц, общая сумма составит $8x$. Эта сумма превышает стоимость вещи $y$ на 3. Следовательно, уравнение выглядит так:

$8x = y + 3$

Из этого уравнения можно выразить стоимость вещи $y$:

$y = 8x - 3$

Согласно второму условию, если каждый из $x$ человек внесет по 7 денежных единиц, общая сумма составит $7x$. Этой суммы не хватает для покупки, и недостаток равен 4. Значит, стоимость вещи $y$ на 4 больше, чем собранная сумма. Составим второе уравнение:

$7x = y - 4$

Из этого уравнения также выразим стоимость вещи $y$:

$y = 7x + 4$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений, где левые части равны $y$. Мы можем приравнять правые части этих уравнений, чтобы найти значение $x$:

$8x - 3 = 7x + 4$

Решим полученное уравнение, перенеся члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$8x - 7x = 4 + 3$

$x = 7$

Таким образом, количество людей равно 7.

Теперь, когда мы знаем количество людей, мы можем вычислить стоимость вещи $y$, подставив значение $x=7$ в любое из двух уравнений. Воспользуемся первым:

$y = 8x - 3 = 8 \cdot 7 - 3 = 56 - 3 = 53$

Для проверки подставим значение $x=7$ во второе уравнение:

$y = 7x + 4 = 7 \cdot 7 + 4 = 49 + 4 = 53$

Оба уравнения дают одинаковый результат, значит, расчеты верны.

Ответ: количество людей — 7, стоимость вещи — 53 денежные единицы.

1198. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто желает дать милостыню убогим, дав каждому из них по 3 пенязи, но недостаёт денег на 3 человека. Если бы дал им по 2 пенязи, тогда бы осталось денег на 4 человека. Спрашивается, сколько было убогих и сколько у того мужа было денег.

Для решения этой старинной задачи введем переменные:

• Пусть $x$ — количество убогих.
• Пусть $y$ — количество денег (пенязей), которое было у мужа.

Далее составим систему уравнений, исходя из условий задачи.

Первое условие: «...дав каждому из них по 3 пенязи, но недостаёт денег на 3 человека». Это означает, что для того, чтобы дать всем $x$ убогим по 3 пенязи, необходимо $3x$ денег. Сумма, которой не хватает, равна подаянию для троих человек, то есть $3 \times 3 = 9$ пенязей. Таким образом, имеющаяся у мужа сумма $y$ равна:

$y = 3x - 9$

Второе условие: «Если бы дал им по 2 пенязи, тогда бы осталось денег на 4 человека». Это означает, что если раздать всем $x$ убогим по 2 пенязи, будет потрачено $2x$ денег. Оставшаяся сумма будет достаточной, чтобы дать еще четверым людям по 2 пенязи, то есть остаток составит $2 \times 4 = 8$ пенязей. Таким образом, имеющаяся у мужа сумма $y$ равна:

$y = 2x + 8$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} y = 3x - 9 \\ y = 2x + 8 \end{cases}$

Так как левые части уравнений равны (обе равны $y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти неизвестное $x$.

сколько было убогих

Приравняем правые части уравнений:

$3x - 9 = 2x + 8$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$3x - 2x = 8 + 9$

$x = 17$

Следовательно, было 17 убогих.

Ответ: 17 убогих.

сколько у того мужа было денег

Зная, что количество убогих $x = 17$, мы можем вычислить количество денег $y$, подставив это значение в любое из двух уравнений системы.

Возьмем второе уравнение для расчета:

$y = 2x + 8$

$y = 2 \times 17 + 8$

$y = 34 + 8$

$y = 42$

Для проверки выполним расчет по первому уравнению:

$y = 3x - 9$

$y = 3 \times 17 - 9$

$y = 51 - 9$

$y = 42$

Оба уравнения дают одинаковый результат. Таким образом, у мужа было 42 пенязи.

Ответ: 42 пенязи.

1199. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесёт по 9 (денежных единиц), то останется 11, если же каждый человек внесёт по 6, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.

Для решения этой задачи введем две переменные. Пусть $x$ — это количество людей, а $y$ — это стоимость курицы в денежных единицах.

Согласно первому условию, если каждый из $x$ человек внесет по 9 денежных единиц, общая сумма составит $9x$. После покупки курицы стоимостью $y$ останется 11 единиц. Это можно записать в виде уравнения:
$9x = y + 11$
Отсюда выразим стоимость курицы:
$y = 9x - 11$

Согласно второму условию, если каждый из $x$ человек внесет по 6 денежных единиц, общая сумма составит $6x$. Для покупки курицы стоимостью $y$ этой суммы не хватит, и дефицит составит 16 единиц. Запишем это в виде второго уравнения:
$6x = y - 16$
Из этого уравнения также выразим стоимость курицы:
$y = 6x + 16$

Так как оба выражения равны стоимости курицы $y$, мы можем их приравнять, чтобы найти количество людей $x$:
$9x - 11 = 6x + 16$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:
$9x - 6x = 16 + 11$
$3x = 27$
$x = \frac{27}{3}$
$x = 9$
Следовательно, количество людей равно 9.

Чтобы найти стоимость курицы $y$, подставим найденное значение $x=9$ в любое из ранее полученных выражений для $y$. Используем второе:
$y = 6x + 16$
$y = 6 \cdot 9 + 16$
$y = 54 + 16$
$y = 70$
Таким образом, стоимость курицы составляет 70 денежных единиц.

Ответ: 9 людей, стоимость курицы — 70 денежных единиц.

1200. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных единиц), то недостаток равен 330. Если же каждые девять семей внесут по 270, то избыток равен 30. Сколько семей и сколько стоит буйвол?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $x$ — это общее количество семей.
• Пусть $y$ — это стоимость буйвола в денежных единицах.

Основываясь на условиях задачи, составим систему из двух уравнений.

Первое условие: «Если каждые семь семей внесут по 190, то недостаток равен 330». Это означает, что собранная сумма $\frac{x}{7} \cdot 190$ на 330 меньше стоимости буйвола $y$.

Уравнение 1: $y = \frac{190x}{7} + 330$

Второе условие: «Если же каждые девять семей внесут по 270, то избыток равен 30». Это означает, что собранная сумма $\frac{x}{9} \cdot 270$ на 30 больше стоимости буйвола $y$.

Уравнение 2: $y = \frac{270x}{9} - 30$

Упростим второе уравнение, разделив 270 на 9:

$y = 30x - 30$

Теперь мы имеем систему уравнений. Так как левые части обоих уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части для нахождения $x$:

$\frac{190x}{7} + 330 = 30x - 30$

Решим это уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:

$330 + 30 = 30x - \frac{190x}{7}$

$360 = \frac{30x \cdot 7}{7} - \frac{190x}{7}$

$360 = \frac{210x - 190x}{7}$

$360 = \frac{20x}{7}$

Выразим $x$:

$20x = 360 \cdot 7$

$20x = 2520$

$x = \frac{2520}{20} = 126$

Таким образом, всего было 126 семей.

Теперь, зная количество семей, найдем стоимость буйвола $y$, подставив значение $x=126$ в любое из уравнений. Воспользуемся упрощенным вторым уравнением:

$y = 30x - 30 = 30 \cdot 126 - 30 = 3780 - 30 = 3750$

Стоимость буйвола составляет 3750 денежных единиц.

Ответ: всего было 126 семей, а буйвол стоил 3750 денежных единиц.

1201. Старинная задача. Идёт корабль по морю, на нём мужеска полу и женска 120 человек. Всего заплатили 120 $гривен^2$, мужчины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу и женска порознь?

Для решения этой старинной задачи необходимо составить систему уравнений. Обозначим количество мужчин на корабле как $m$, а количество женщин как $w$.

Из условия известно, что всего на корабле было 120 человек. Это дает нам первое уравнение:

$m + w = 120$

Второе условие касается оплаты. Мужчины заплатили по 4 алтына, а женщины — по 3 алтына. Общая сумма составила 120 гривен. Чтобы составить второе уравнение, нужно привести все денежные единицы к одной. В старой русской монетной системе 1 гривна (или гривенник) равнялась 10 копейкам, а 1 алтын — 3 копейкам. Следовательно, 1 гривна эквивалентна $\frac{10}{3}$ алтына. (Примечание: надстрочный знак "2" после слова "гривен", скорее всего, является сноской в оригинальном тексте и не несет математического смысла).

Переведем общую сумму из гривен в алтыны:

$120 \text{ гривен} = 120 \times \frac{10}{3} \text{ алтын} = 40 \times 10 \text{ алтын} = 400 \text{ алтын}$

Теперь можно составить второе уравнение, отражающее общую плату в алтынах:

$4m + 3w = 400$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} m + w = 120 \\ 4m + 3w = 400 \end{cases}$

Для решения системы выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим количество женщин $w$:

$w = 120 - m$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4m + 3(120 - m) = 400$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $m$:

$4m + 360 - 3m = 400$

$m + 360 = 400$

$m = 400 - 360$

$m = 40$

Итак, на корабле было 40 мужчин. Теперь найдем количество женщин, подставив значение $m$ в выражение $w = 120 - m$:

$w = 120 - 40 = 80$

Проведем проверку: $40$ мужчин и $80$ женщин — это $40 + 80 = 120$ человек. Сумма оплаты: $40 \times 4 \text{ алтына} + 80 \times 3 \text{ алтына} = 160 + 240 = 400$ алтын. Все верно.

Ответ: на корабле было 40 мужчин и 80 женщин.

1202. Участникам школьной математической викторины было предложено 30 вопросов. За каждый правильный ответ засчитывалось 7 очков, а за неправильный списывалось 12 очков. Сколько верных ответов дал участник викторины, если он набрал 77 очков?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим количество верных ответов за $x$, а количество неверных ответов — за $y$.

Всего в викторине было 30 вопросов. Это означает, что сумма верных и неверных ответов равна 30. Получаем первое уравнение:

$x + y = 30$

За каждый верный ответ участник получал 7 очков, а за каждый неверный у него списывали 12 очков. В итоге участник набрал 77 очков. Отсюда можно составить второе уравнение, которое отражает общее количество набранных очков:

$7x - 12y = 77$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 30 \\ 7x - 12y = 77 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 30 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$7x - 12(30 - x) = 77$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$7x - 360 + 12x = 77$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$:

$19x - 360 = 77$

Перенесем число -360 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$19x = 77 + 360$

$19x = 437$

Найдем $x$, разделив 437 на 19:

$x = \frac{437}{19}$

$x = 23$

Таким образом, участник дал 23 верных ответа.

Для проверки найдем количество неверных ответов:

$y = 30 - 23 = 7$

Теперь посчитаем итоговый балл:

$7 \cdot 23 - 12 \cdot 7 = 161 - 84 = 77$

Полученное значение совпадает с данными в условии задачи, значит, решение верное.

Ответ: участник дал 23 верных ответа.

1203. Сумма трёх чисел равна 254,772. Если в одном из чисел перенести запятую на две цифры вправо, то получится большее из чисел, а если перенести запятую в том же числе на одну цифру влево, то получится меньшее число. Найдите эти числа.

¹ Пенязь — деньга, деньги.

² 1 гривна (гривенник) = 10 к., 1 алтын = 3 к.

Пусть среднее из трёх искомых чисел равно $x$. В задаче говорится об "одном из чисел", из которого путем переноса запятой получаются два других. Логично предположить, что это число является средним по величине.

Согласно условию, если в этом числе ($x$) перенести запятую на две цифры вправо, то получится большее из чисел. Перенос запятой на две цифры вправо эквивалентен умножению на 100. Таким образом, большее число равно $100x$.

Также по условию, если в том же числе ($x$) перенести запятую на одну цифру влево, то получится меньшее число. Перенос запятой на одну цифру влево эквивалентен делению на 10. Следовательно, меньшее число равно $\frac{x}{10}$ или $0,1x$.

Итак, мы имеем три числа, выраженные через $x$: $0,1x$ (меньшее), $x$ (среднее) и $100x$ (большее).

Сумма этих трёх чисел равна 254,772. Составим и решим уравнение:

$0,1x + x + 100x = 254,772$

Сложим все коэффициенты при $x$:

$(0,1 + 1 + 100)x = 254,772$

$101,1x = 254,772$

Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 101,1:

$x = \frac{254,772}{101,1}$

$x = 2,52$

Мы нашли среднее число. Теперь найдём два остальных:

Меньшее число: $0,1x = 0,1 \cdot 2,52 = 0,252$.

Большее число: $100x = 100 \cdot 2,52 = 252$.

Проверим, верна ли сумма найденных чисел:

$0,252 + 2,52 + 252 = 254,772$.

Сумма верна.

Ответ: Искомые числа: 0,252; 2,52 и 252.