Номер 1197, страница 295 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1197. Старинная задача (Китай, I в.). Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесёт по 8 (денежных единиц), то избыток равен 3. Если каждый человек внесёт по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Для решения этой задачи введем две переменные. Пусть $x$ — это количество людей, а $y$ — это стоимость вещи в денежных единицах.

Исходя из первого условия задачи, мы можем составить первое уравнение. Если каждый из $x$ человек внесет по 8 денежных единиц, общая сумма составит $8x$. Эта сумма превышает стоимость вещи $y$ на 3. Следовательно, уравнение выглядит так:

$8x = y + 3$

Из этого уравнения можно выразить стоимость вещи $y$:

$y = 8x - 3$

Согласно второму условию, если каждый из $x$ человек внесет по 7 денежных единиц, общая сумма составит $7x$. Этой суммы не хватает для покупки, и недостаток равен 4. Значит, стоимость вещи $y$ на 4 больше, чем собранная сумма. Составим второе уравнение:

$7x = y - 4$

Из этого уравнения также выразим стоимость вещи $y$:

$y = 7x + 4$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений, где левые части равны $y$. Мы можем приравнять правые части этих уравнений, чтобы найти значение $x$:

$8x - 3 = 7x + 4$

Решим полученное уравнение, перенеся члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$8x - 7x = 4 + 3$

$x = 7$

Таким образом, количество людей равно 7.

Теперь, когда мы знаем количество людей, мы можем вычислить стоимость вещи $y$, подставив значение $x=7$ в любое из двух уравнений. Воспользуемся первым:

$y = 8x - 3 = 8 \cdot 7 - 3 = 56 - 3 = 53$

Для проверки подставим значение $x=7$ во второе уравнение:

$y = 7x + 4 = 7 \cdot 7 + 4 = 49 + 4 = 53$

Оба уравнения дают одинаковый результат, значит, расчеты верны.

Ответ: количество людей — 7, стоимость вещи — 53 денежные единицы.