Страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1144. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 28, сумма следующих трёх членов равна 3,5. Найдите восьмой член прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию, сумма первых трёх членов прогрессии ($b_1, b_2, b_3$) равна 28. Запишем это в виде уравнения, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $b_1 + b_1q + b_1q^2 = 28$

Вынесем $b_1$ за скобки: $b_1(1 + q + q^2) = 28$

Сумма следующих трёх членов ($b_4, b_5, b_6$) равна 3,5. Запишем второе уравнение: $b_4 + b_5 + b_6 = 3,5$

Выразим эти члены через $b_1$ и $q$: $b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = 3,5$

Вынесем за скобки общий множитель $b_1q^3$: $b_1q^3(1 + q + q^2) = 3,5$

Мы получили систему из двух уравнений:

1. $b_1(1 + q + q^2) = 28$
2. $b_1q^3(1 + q + q^2) = 3,5$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти $q$: $\frac{b_1q^3(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{3,5}{28}$

После сокращения левой части получаем: $q^3 = \frac{3,5}{28}$

Упростим правую часть: $q^3 = \frac{35}{280} = \frac{1}{8}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии: $q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим значение $q$ в первое уравнение, чтобы найти $b_1$: $b_1(1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 28$ $b_1(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 28$ $b_1(\frac{4+2+1}{4}) = 28$ $b_1(\frac{7}{4}) = 28$

Находим первый член прогрессии: $b_1 = 28 \cdot \frac{4}{7} = 4 \cdot 4 = 16$

Наконец, найдём восьмой член прогрессии ($b_8$) по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7$

Подставляем известные значения $b_1=16$ и $q=\frac{1}{2}$: $b_8 = 16 \cdot (\frac{1}{2})^7 = 16 \cdot \frac{1}{128} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

1145. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если известно, что первый член равен $b_1 = 9$, а сумма первых трёх членов равна $S_3 = 58.59$.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а знаменатель прогрессии как $q$.

Из условия задачи известно:
Первый член прогрессии: $b_1 = 9$.
Сумма первых трёх членов: $S_3 = 58,59$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Для $n=3$ сумму можно также записать как $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1 + q + q^2)$.

Подставим известные значения, чтобы найти знаменатель $q$:
$9(1 + q + q^2) = 58,59$
Разделим обе части на 9:
$1 + q + q^2 = \frac{58,59}{9}$
$1 + q + q^2 = 6,51$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $aq^2 + bq + c = 0$:
$q^2 + q + 1 - 6,51 = 0$
$q^2 + q - 5,51 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5,51) = 1 + 22,04 = 23,04$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{23,04} = 4,8$.

Теперь найдем два возможных значения для знаменателя $q$:
$q_1 = \frac{-1 + 4,8}{2} = \frac{3,8}{2} = 1,9$
$q_2 = \frac{-1 - 4,8}{2} = \frac{-5,8}{2} = -2,9$

Так как оба значения $q$ удовлетворяют условию, необходимо найти сумму первых пяти членов ($S_5$) для каждого из двух возможных случаев.

Случай 1: $q = 1,9$
Используем формулу суммы для $S_5$:
$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{9(1,9^5 - 1)}{1,9 - 1} = \frac{9(1,9^5 - 1)}{0,9} = 10(1,9^5 - 1)$
Вычислим $1,9^5 = 24,76099$.
$S_5 = 10(24,76099 - 1) = 10 \cdot 23,76099 = 237,6099$.

Случай 2: $q = -2,9$
Найдем сумму $S_5$ для этого значения $q$:
$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{9((-2,9)^5 - 1)}{-2,9 - 1} = \frac{9((-2,9)^5 - 1)}{-3,9}$
Вычислим $(-2,9)^5 = -205,11149$.
$S_5 = \frac{9(-205,11149 - 1)}{-3,9} = \frac{9(-206,11149)}{-3,9} = \frac{-1855,00341}{-3,9} = 475,6419$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.
Ответ: 237,6099 или 475,6419.

1146. a) Как изменится разность конечной арифметической прогрессии, если порядок её членов изменить на противоположный?

б) Сколько членов в конечной арифметической прогрессии, если её крайние члены $10$ и $7,5$, а разность равна $-0,4$?

а) Пусть дана конечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, \dots, a_n$ с разностью $d$. По определению, разность прогрессии — это постоянная величина, на которую отличается каждый последующий член от предыдущего: $d = a_{k+1} - a_k$ для любого $k$ от $1$ до $n-1$.

Если изменить порядок членов на противоположный, мы получим новую последовательность $b_1, b_2, \dots, b_n$, где $b_1 = a_n$, $b_2 = a_{n-1}$, и так далее, до $b_n = a_1$.

Чтобы эта новая последовательность была арифметической прогрессией, разность между её соседними членами также должна быть постоянной. Найдём эту новую разность, обозначив её $d'$:

$d' = b_2 - b_1$

Подставим значения из исходной прогрессии:

$d' = a_{n-1} - a_n$

Мы знаем, что для исходной прогрессии $a_n - a_{n-1} = d$. Выразим отсюда $a_{n-1} - a_n$:

$a_{n-1} - a_n = -(a_n - a_{n-1}) = -d$

Следовательно, $d' = -d$. Это означает, что разность новой прогрессии будет равна разности исходной прогрессии, взятой с противоположным знаком.

Ответ: Разность изменит свой знак на противоположный.

б) Для решения этой задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — n-й (последний) член, $n$ — количество членов, а $d$ — разность прогрессии.

Из условия нам известны:

• Крайние члены: 10 и 7,5.
• Разность прогрессии: $d = -0.4$.

Поскольку разность $d = -0.4$ является отрицательным числом, прогрессия является убывающей. Это значит, что её первый член должен быть больше последнего. Таким образом, мы можем однозначно определить:

• Первый член $a_1 = 10$.
• Последний член $a_n = 7.5$.

Теперь подставим известные значения в формулу n-го члена и решим уравнение относительно $n$:

$7.5 = 10 + (n-1) \cdot (-0.4)$

Вычтем 10 из обеих частей уравнения:

$7.5 - 10 = (n-1) \cdot (-0.4)$

$-2.5 = -0.4(n-1)$

Теперь разделим обе части на -0,4, чтобы найти $n-1$:

$n-1 = \frac{-2.5}{-0.4} = \frac{25}{4}$

$n-1 = 6.25$

Прибавим 1 к обеим частям:

$n = 6.25 + 1$

$n = 7.25$

Количество членов в последовательности ($n$) по определению должно быть натуральным числом (целым и положительным). Поскольку в результате вычислений мы получили дробное число $7.25$, это означает, что не существует конечной арифметической прогрессии, которая удовлетворяла бы всем заданным условиям. Другими словами, если начать с члена 10 и вычитать по 0,4, то член 7,5 никогда не будет получен в этой последовательности.

Ответ: Конечной арифметической прогрессии с заданными параметрами не существует, так как число её членов должно быть натуральным числом.

1147. Найдите формулу общего члена арифметической прогрессии $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$, если известно, что:

а) $a_1 = 5, a_2 = -5;$

б) $a_1 = -3, a_2 = 0;$

в) $a_1 = 6, a_{10} = 33;$

г) $a_4 = -4, a_{17} = -17.$

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — разность прогрессии.

а) Дано: $a_1 = 5$, $a_2 = -5$.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -5 - 5 = -10$.

Первый член прогрессии $a_1 = 5$ известен. Теперь подставим значения $a_1$ и $d$ в общую формулу:

$a_n = 5 + (n-1)(-10)$

$a_n = 5 - 10n + 10$

$a_n = 15 - 10n$

Ответ: $a_n = 15 - 10n$.

б) Дано: $a_1 = -3$, $a_2 = 0$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 0 - (-3) = 3$.

Первый член $a_1 = -3$ известен. Подставим значения $a_1$ и $d$ в общую формулу:

$a_n = -3 + (n-1)3$

$a_n = -3 + 3n - 3$

$a_n = 3n - 6$

Ответ: $a_n = 3n - 6$.

в) Дано: $a_1 = 6$, $a_{10} = 33$.

Используем формулу для десятого члена прогрессии $a_{10} = a_1 + (10-1)d$, чтобы найти разность $d$.

Подставим известные значения:

$33 = 6 + 9d$

$9d = 33 - 6$

$9d = 27$

$d = 3$

Теперь, зная $a_1 = 6$ и $d = 3$, запишем формулу общего члена:

$a_n = 6 + (n-1)3$

$a_n = 6 + 3n - 3$

$a_n = 3n + 3$

Ответ: $a_n = 3n + 3$.

г) Дано: $a_4 = -4$, $a_{17} = -17$.

Выразим данные члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_{17} = a_1 + (17-1)d = a_1 + 16d$

Получим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a_1 + 3d = -4 \\ a_1 + 16d = -17 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(a_1 + 16d) - (a_1 + 3d) = -17 - (-4)$

$13d = -13$

$d = -1$

Теперь подставим найденное значение $d = -1$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 3(-1) = -4$

$a_1 - 3 = -4$

$a_1 = -1$

Наконец, подставим $a_1 = -1$ и $d = -1$ в общую формулу:

$a_n = -1 + (n-1)(-1)$

$a_n = -1 - n + 1$

$a_n = -n$

Ответ: $a_n = -n$.

1148. Даны две геометрические прогрессии: $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ и $b_1, b_2, ..., b_n, ...$. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

а) $a_1 + b_1, a_2 + b_2, ..., a_n + b_n, ...$;

б) $a_1 - b_1, a_2 - b_2, ..., a_n - b_n, ...$;

в) $a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, ..., a_n \cdot b_n, ...$;

г) $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, ..., \frac{a_n}{b_n}, ...$ (все $b_i \neq 0$)?

Пусть $a_n$ — геометрическая прогрессия с первым членом $a_1$ и знаменателем $q_a$. Тогда формула для $n$-го члена: $a_n = a_1 \cdot q_a^{n-1}$.
Пусть $b_n$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q_b$. Тогда формула для $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q_b^{n-1}$.
Последовательность $c_n$ является геометрической прогрессией, если отношение ее последующего члена к предыдущему $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ является постоянной величиной (знаменателем прогрессии), не зависящей от $n$.

а) Рассмотрим последовательность $c_n = a_n + b_n$.

Ее $n$-й член равен $c_n = a_1 q_a^{n-1} + b_1 q_b^{n-1}$.
Найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_{n+1} + b_{n+1}}{a_n + b_n} = \frac{a_1 q_a^n + b_1 q_b^n}{a_1 q_a^{n-1} + b_1 q_b^{n-1}}$.
В общем случае это отношение зависит от $n$, поэтому последовательность $c_n$ не является геометрической прогрессией.
Например, пусть $a_n$ — прогрессия $1, 2, 4, ...$, то есть $a_1=1, q_a=2$. Пусть $b_n$ — прогрессия $1, 3, 9, ...$, то есть $b_1=1, q_b=3$.
Тогда последовательность $c_n = a_n+b_n$ будет: $c_1=1+1=2$, $c_2=2+3=5$, $c_3=4+9=13$, ...
Проверим отношения членов: $\frac{c_2}{c_1} = \frac{5}{2} = 2.5$, а $\frac{c_3}{c_2} = \frac{13}{5} = 2.6$.
Так как $2.5 \ne 2.6$, последовательность не является геометрической прогрессией.
Примечание: Сумма будет геометрической прогрессией только в том случае, если знаменатели исходных прогрессий равны ($q_a=q_b=q$). В этом случае $c_n = a_1 q^{n-1} + b_1 q^{n-1} = (a_1+b_1)q^{n-1}$, что является определением геометрической прогрессии.

Ответ: нет, в общем случае не является.

б) Рассмотрим последовательность $c_n = a_n - b_n$.

Ее $n$-й член равен $c_n = a_1 q_a^{n-1} - b_1 q_b^{n-1}$.
Аналогично пункту а), отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_1 q_a^n - b_1 q_b^n}{a_1 q_a^{n-1} - b_1 q_b^{n-1}}$ в общем случае зависит от $n$.
Например, пусть $a_n$ — прогрессия $2, 4, 8, ...$, то есть $a_1=2, q_a=2$. Пусть $b_n$ — прогрессия $1, 3, 9, ...$, то есть $b_1=1, q_b=3$.
Тогда последовательность $c_n = a_n - b_n$ будет: $c_1=2-1=1$, $c_2=4-3=1$, $c_3=8-9=-1$, ...
Проверим отношения членов: $\frac{c_2}{c_1} = \frac{1}{1} = 1$, а $\frac{c_3}{c_2} = \frac{-1}{1} = -1$.
Так как $1 \ne -1$, последовательность не является геометрической прогрессией.
Примечание: Разность будет геометрической прогрессией только в том случае, если $q_a=q_b=q$. Тогда $c_n = (a_1-b_1)q^{n-1}$, что является определением геометрической прогрессии (при условии, что $a_1 \ne b_1$).

Ответ: нет, в общем случае не является.

в) Рассмотрим последовательность $c_n = a_n \cdot b_n$.

Ее $n$-й член равен $c_n = (a_1 q_a^{n-1}) \cdot (b_1 q_b^{n-1}) = (a_1 b_1) \cdot (q_a q_b)^{n-1}$.
Это выражение является формулой $n$-го члена геометрической прогрессии, у которой первый член $c_1 = a_1 b_1$, а знаменатель $q = q_a q_b$.
Проверим отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_{n+1} b_{n+1}}{a_n b_n} = \frac{(a_1 q_a^n)(b_1 q_b^n)}{(a_1 q_a^{n-1})(b_1 q_b^{n-1})} = \frac{q_a^n q_b^n}{q_a^{n-1} q_b^{n-1}} = q_a q_b$.
Отношение постоянно и равно $q_a q_b$, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да.

г) Рассмотрим последовательность $c_n = \frac{a_n}{b_n}$ (все $b_i \ne 0$).

Условие $b_i \ne 0$ означает, что $b_1 \ne 0$ и $q_b \ne 0$.
Ее $n$-й член равен $c_n = \frac{a_1 q_a^{n-1}}{b_1 q_b^{n-1}} = \frac{a_1}{b_1} \cdot \left(\frac{q_a}{q_b}\right)^{n-1}$.
Это выражение является формулой $n$-го члена геометрической прогрессии, у которой первый член $c_1 = \frac{a_1}{b_1}$, а знаменатель $q = \frac{q_a}{q_b}$.
Проверим отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_{n+1}/b_{n+1}}{a_n/b_n} = \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} \cdot \frac{b_n}{a_n} = \frac{a_1 q_a^n}{b_1 q_b^n} \cdot \frac{b_1 q_b^{n-1}}{a_1 q_a^{n-1}} = \frac{q_a}{q_b}$.
Отношение постоянно и равно $\frac{q_a}{q_b}$, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да.

1149. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $b_1, b_2, ..., b_n, ...$, если известно, что:

a) $b_1 + b_4 = \frac{7}{16}$, $b_3 - b_2 + b_1 = \frac{7}{8}$;

б) $b_2 - b_1 = 2$, $b_3 - b_1 = 8$.

Дана система уравнений для членов геометрической прогрессии:

$b_1 + b_4 = \frac{7}{16}$

$b_3 - b_2 + b_1 = \frac{7}{8}$

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии. Выразим $b_2$, $b_3$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в исходную систему уравнений:

$b_1 + b_1 q^3 = \frac{7}{16} \implies b_1(1 + q^3) = \frac{7}{16}$

$b_1 q^2 - b_1 q + b_1 = \frac{7}{8} \implies b_1(q^2 - q + 1) = \frac{7}{8}$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Разделим первое уравнение на второе. Заметим, что $b_1 \neq 0$ (иначе левые части были бы равны 0, а не $7/16$ и $7/8$). Также, выражение $q^2 - q + 1 \neq 0$, так как дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, и ветви параболы направлены вверх. Поэтому деление возможно.

$\frac{b_1(1 + q^3)}{b_1(q^2 - q + 1)} = \frac{7/16}{7/8}$

Сократим $b_1$ и упростим правую часть:

$\frac{1 + q^3}{q^2 - q + 1} = \frac{7}{16} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{2}$

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к числителю левой части:

$\frac{(1+q)(q^2-q+1)}{q^2-q+1} = \frac{1}{2}$

Сократим дробь на $(q^2-q+1)$:

$1 + q = \frac{1}{2}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ во второе уравнение системы $b_1(q^2 - q + 1) = \frac{7}{8}$:

$b_1 \cdot ((- \frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 1) = \frac{7}{8}$

$b_1 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1) = \frac{7}{8}$

$b_1 \cdot (\frac{1+2+4}{4}) = \frac{7}{8}$

$b_1 \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{8}$

$b_1 = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = -\frac{1}{2}$.

Дана система уравнений для членов геометрической прогрессии:

$b_2 - b_1 = 2$

$b_3 - b_1 = 8$

Используя формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, выразим $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

Подставим эти выражения в систему:

$b_1 q - b_1 = 2 \implies b_1(q - 1) = 2$

$b_1 q^2 - b_1 = 8 \implies b_1(q^2 - 1) = 8$

Разделим второе уравнение на первое. Убедимся, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 1$, иначе левые части уравнений были бы равны нулю, что противоречит правым частям (2 и 8).

$\frac{b_1(q^2 - 1)}{b_1(q - 1)} = \frac{8}{2}$

Сократим $b_1$ и упростим правую часть:

$\frac{q^2 - 1}{q - 1} = 4$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю левой части:

$\frac{(q-1)(q+1)}{q-1} = 4$

Сократим дробь на $(q-1)$:

$q + 1 = 4$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = 4 - 1 = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение системы $b_1(q - 1) = 2$:

$b_1(3 - 1) = 2$

$b_1 \cdot 2 = 2$

$b_1 = 1$

Ответ: $b_1 = 1$, $q = 3$.

1150. Найдите четыре числа $b_1, b_2, b_3, b_4$, если известно, что числа $b_2, b_3, b_4$ образуют конечную геометрическую прогрессию, а числа $b_1, b_2, b_3$ образуют конечную арифметическую прогрессию и $b_1 + b_4 = 37, b_2 + b_3 = 36$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти четыре числа $b_1, b_2, b_3, b_4$.

Известно, что числа $b_2, b_3, b_4$ образуют конечную геометрическую прогрессию. Пусть ее знаменатель равен $q$. Тогда для этих чисел справедливо характеристическое свойство геометрической прогрессии: $b_3^2 = b_2 \cdot b_4$.

Числа $b_1, b_2, b_3$ образуют конечную арифметическую прогрессию. Пусть ее разность равна $d$. Для этих чисел справедливо характеристическое свойство арифметической прогрессии: $2b_2 = b_1 + b_3$.

Также из условия даны два равенства:
1) $b_1 + b_4 = 37$
2) $b_2 + b_3 = 36$

Для решения задачи составим систему уравнений. Из свойства арифметической прогрессии выразим $b_1$:
$b_1 = 2b_2 - b_3$.

Из свойства геометрической прогрессии выразим $b_4$ (при условии, что $b_2 \neq 0$):
$b_4 = \frac{b_3^2}{b_2}$.
Заметим, что $b_2$ не может быть равно нулю, так как если $b_2=0$, то из равенства (2) следует $b_3=36$. Но тогда для членов геометрической прогрессии $b_3=b_2 \cdot q$ мы получили бы $36 = 0 \cdot q$, что невозможно. Следовательно, $b_2 \neq 0$.

Подставим полученные выражения для $b_1$ и $b_4$ в равенство (1):
$(2b_2 - b_3) + \frac{b_3^2}{b_2} = 37$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $b_2$ и $b_3$:
$b_2 + b_3 = 36$
$2b_2 - b_3 + \frac{b_3^2}{b_2} = 37$

Из первого уравнения выразим $b_3 = 36 - b_2$ и подставим во второе уравнение:
$2b_2 - (36 - b_2) + \frac{(36 - b_2)^2}{b_2} = 37$

Упростим полученное уравнение:
$3b_2 - 36 + \frac{1296 - 72b_2 + b_2^2}{b_2} = 37$

Умножим все члены уравнения на $b_2$, чтобы избавиться от дроби:
$3b_2^2 - 36b_2 + 1296 - 72b_2 + b_2^2 = 37b_2$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение относительно $b_2$:
$4b_2^2 - 108b_2 + 1296 - 37b_2 = 0$
$4b_2^2 - 145b_2 + 1296 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-145)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1296 = 21025 - 16 \cdot 1296 = 21025 - 20736 = 289$
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения:
$b_{2,1} = \frac{145 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{162}{8} = \frac{81}{4}$
$b_{2,2} = \frac{145 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{128}{8} = 16$

Мы получили два возможных значения для $b_2$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $b_2 = 16$

Найдем $b_3$ из уравнения $b_2 + b_3 = 36$:
$b_3 = 36 - 16 = 20$.

Так как $b_1, b_2, b_3$ — арифметическая прогрессия ($b_1, 16, 20$), найдем ее разность $d = b_3 - b_2 = 20 - 16 = 4$.
Тогда первый член $b_1 = b_2 - d = 16 - 4 = 12$.

Так как $b_2, b_3, b_4$ — геометрическая прогрессия ($16, 20, b_4$), найдем ее знаменатель $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.
Тогда четвертый член $b_4 = b_3 \cdot q = 20 \cdot \frac{5}{4} = 25$.

В этом случае мы получили набор чисел: $b_1 = 12, b_2 = 16, b_3 = 20, b_4 = 25$.
Проверка: $b_1 + b_4 = 12 + 25 = 37$ (верно), $b_2 + b_3 = 16 + 20 = 36$ (верно).

Случай 2: $b_2 = \frac{81}{4}$

Найдем $b_3$ из уравнения $b_2 + b_3 = 36$:
$b_3 = 36 - \frac{81}{4} = \frac{144}{4} - \frac{81}{4} = \frac{63}{4}$.

Так как $b_1, b_2, b_3$ — арифметическая прогрессия ($b_1, \frac{81}{4}, \frac{63}{4}$), найдем ее разность $d = b_3 - b_2 = \frac{63}{4} - \frac{81}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$.
Тогда первый член $b_1 = b_2 - d = \frac{81}{4} - (-\frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{18}{4} = \frac{99}{4}$.

Так как $b_2, b_3, b_4$ — геометрическая прогрессия ($\frac{81}{4}, \frac{63}{4}, b_4$), найдем ее знаменатель $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{63/4}{81/4} = \frac{63}{81} = \frac{7}{9}$.
Тогда четвертый член $b_4 = b_3 \cdot q = \frac{63}{4} \cdot \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 7}{4} = \frac{49}{4}$.

В этом случае мы получили набор чисел: $b_1 = \frac{99}{4}, b_2 = \frac{81}{4}, b_3 = \frac{63}{4}, b_4 = \frac{49}{4}$.
Проверка: $b_1 + b_4 = \frac{99}{4} + \frac{49}{4} = \frac{148}{4} = 37$ (верно), $b_2 + b_3 = \frac{81}{4} + \frac{63}{4} = \frac{144}{4} = 36$ (верно).

Таким образом, существуют два набора чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: Искомые числа могут быть одним из двух наборов: $12, 16, 20, 25$ или $\frac{99}{4}, \frac{81}{4}, \frac{63}{4}, \frac{49}{4}$.

1151. Найдите три числа $b_1, b_2, b_3$, образующие конечную арифметическую прогрессию, если известно, что их сумма равна 30, а числа $b_1 - 5, b_2 - 4, b_3$ образуют конечную геометрическую прогрессию.

Пусть три числа $b_1, b_2, b_3$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d$. Тогда их можно представить в виде $b_1 = b_2 - d$, $b_2$, $b_3 = b_2 + d$.

По условию, сумма этих чисел равна 30:

$b_1 + b_2 + b_3 = 30$

Подставим выражения для $b_1$ и $b_3$:

$(b_2 - d) + b_2 + (b_2 + d) = 30$

$3b_2 = 30$

$b_2 = 10$

Таким образом, средний член прогрессии равен 10. Теперь мы можем выразить первый и третий члены через разность $d$:

$b_1 = 10 - d$

$b_3 = 10 + d$

Теперь рассмотрим второе условие. Числа $b_1 - 5$, $b_2 - 4$, $b_3$ образуют конечную геометрическую прогрессию. Подставим найденные значения $b_1, b_2, b_3$:

Первый член геометрической прогрессии: $(10 - d) - 5 = 5 - d$

Второй член геометрической прогрессии: $10 - 4 = 6$

Третий член геометрической прогрессии: $10 + d$

Итак, последовательность $5 - d, 6, 10 + d$ является геометрической прогрессией. Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов. Применим это свойство:

$6^2 = (5 - d)(10 + d)$

$36 = 50 + 5d - 10d - d^2$

$36 = 50 - 5d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$d^2 + 5d + 36 - 50 = 0$

$d^2 + 5d - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $d$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81$

Корни уравнения:

$d_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$d_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Мы получили два возможных значения для разности арифметической прогрессии, а значит, есть два возможных набора чисел.

Случай 1: $d = 2$

Найдем числа $b_1, b_2, b_3$:

$b_1 = 10 - d = 10 - 2 = 8$

$b_2 = 10$

$b_3 = 10 + d = 10 + 2 = 12$

Получаем числа: 8, 10, 12.

Случай 2: $d = -7$

Найдем числа $b_1, b_2, b_3$:

$b_1 = 10 - d = 10 - (-7) = 17$

$b_2 = 10$

$b_3 = 10 + d = 10 + (-7) = 3$

Получаем числа: 17, 10, 3.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.
Проверка для (8, 10, 12): сумма 30. Числа 8-5=3, 10-4=6, 12 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2.
Проверка для (17, 10, 3): сумма 30. Числа 17-5=12, 10-4=6, 3 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2.

Ответ: Искомые числа могут быть (8, 10, 12) или (17, 10, 3).

1152. Найдите $n$ — число членов конечной геометрической прогрессии $b_1, b_2, ..., b_n$, если известно, что $b_1 + b_5 = 51$, $b_2 + b_6 = 102$, $S_n = 3069$.

Пусть $b_1$ — первый член конечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула $k$-го члена геометрической прогрессии: $b_k = b_1 q^{k-1}$.

Согласно условию задачи, мы имеем систему из двух уравнений:

1) $b_1 + b_5 = 51$

2) $b_2 + b_6 = 102$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_1 + b_1 q^{5-1} = 51 \implies b_1(1 + q^4) = 51$

$b_1 q^{2-1} + b_1 q^{6-1} = 102 \implies b_1 q + b_1 q^5 = 102 \implies b_1 q(1 + q^4) = 102$

Запишем получившуюся систему:

$\begin{cases} b_1(1 + q^4) = 51 \\ b_1 q(1 + q^4) = 102 \end{cases}$

Разделим второе уравнение системы на первое (это возможно, так как $b_1(1 + q^4) = 51 \neq 0$):

$\frac{b_1 q(1 + q^4)}{b_1(1 + q^4)} = \frac{102}{51}$

После сокращения получаем:

$q = 2$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q=2$ в первое уравнение системы:

$b_1(1 + 2^4) = 51$

$b_1(1 + 16) = 51$

$17 b_1 = 51$

$b_1 = \frac{51}{17}$

$b_1 = 3$

Таким образом, первый член прогрессии равен 3, а знаменатель равен 2.

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

По условию, $S_n = 3069$. Подставим известные нам значения $b_1=3$ и $q=2$ в формулу:

$3069 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$

$3069 = \frac{3(2^n - 1)}{1}$

$3069 = 3(2^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{3069}{3} = 2^n - 1$

$1023 = 2^n - 1$

Прибавим 1 к обеим частям:

$1024 = 2^n$

Мы знаем, что $1024$ это $2$ в десятой степени:

$2^{10} = 2^n$

Отсюда следует, что $n=10$.

Ответ: $n = 10$.

1153. Найдите все числа $x$, удовлетворяющие следующему условию: $1 + 7 + 13 + \dots + x = 280.$

В левой части уравнения представлена сумма членов арифметической прогрессии. Определим её параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 1$.

Разность прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами: $d = 7 - 1 = 6$.

Число $x$ является последним, n-м членом этой прогрессии ($a_n = x$), а сумма этих $n$ членов по условию равна $S_n = 280$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим в неё известные значения, чтобы выразить $x$ через $n$:
$x = 1 + (n-1) \cdot 6$
$x = 1 + 6n - 6$
$x = 6n - 5$

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$. Подставим в неё известные значения:
$280 = \frac{(1 + x) \cdot n}{2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$280 = \frac{(1 + (6n - 5)) \cdot n}{2}$
$280 = \frac{(6n - 4) \cdot n}{2}$
$280 = (3n - 2) \cdot n$
$3n^2 - 2n - 280 = 0$

Мы получили квадратное уравнение для нахождения $n$. Решим его с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-280) = 4 + 3360 = 3364$.
$\sqrt{D} = \sqrt{3364} = 58$.

Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 58}{2 \cdot 3} = \frac{60}{6} = 10$.
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 58}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$.

Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только корень $n = 10$.

Теперь, зная, что в сумме 10 членов, мы можем найти $x$, который является 10-м членом прогрессии ($a_{10}$):
$x = 6n - 5 = 6 \cdot 10 - 5 = 60 - 5 = 55$.

Ответ: $x=55$.