Номер 1148, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1148. Даны две геометрические прогрессии: $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ и $b_1, b_2, ..., b_n, ...$. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

а) $a_1 + b_1, a_2 + b_2, ..., a_n + b_n, ...$;

б) $a_1 - b_1, a_2 - b_2, ..., a_n - b_n, ...$;

в) $a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, ..., a_n \cdot b_n, ...$;

г) $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, ..., \frac{a_n}{b_n}, ...$ (все $b_i \neq 0$)?

Пусть $a_n$ — геометрическая прогрессия с первым членом $a_1$ и знаменателем $q_a$. Тогда формула для $n$-го члена: $a_n = a_1 \cdot q_a^{n-1}$.
Пусть $b_n$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q_b$. Тогда формула для $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q_b^{n-1}$.
Последовательность $c_n$ является геометрической прогрессией, если отношение ее последующего члена к предыдущему $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ является постоянной величиной (знаменателем прогрессии), не зависящей от $n$.

а) Рассмотрим последовательность $c_n = a_n + b_n$.

Ее $n$-й член равен $c_n = a_1 q_a^{n-1} + b_1 q_b^{n-1}$.
Найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_{n+1} + b_{n+1}}{a_n + b_n} = \frac{a_1 q_a^n + b_1 q_b^n}{a_1 q_a^{n-1} + b_1 q_b^{n-1}}$.
В общем случае это отношение зависит от $n$, поэтому последовательность $c_n$ не является геометрической прогрессией.
Например, пусть $a_n$ — прогрессия $1, 2, 4, ...$, то есть $a_1=1, q_a=2$. Пусть $b_n$ — прогрессия $1, 3, 9, ...$, то есть $b_1=1, q_b=3$.
Тогда последовательность $c_n = a_n+b_n$ будет: $c_1=1+1=2$, $c_2=2+3=5$, $c_3=4+9=13$, ...
Проверим отношения членов: $\frac{c_2}{c_1} = \frac{5}{2} = 2.5$, а $\frac{c_3}{c_2} = \frac{13}{5} = 2.6$.
Так как $2.5 \ne 2.6$, последовательность не является геометрической прогрессией.
Примечание: Сумма будет геометрической прогрессией только в том случае, если знаменатели исходных прогрессий равны ($q_a=q_b=q$). В этом случае $c_n = a_1 q^{n-1} + b_1 q^{n-1} = (a_1+b_1)q^{n-1}$, что является определением геометрической прогрессии.

Ответ: нет, в общем случае не является.

б) Рассмотрим последовательность $c_n = a_n - b_n$.

Ее $n$-й член равен $c_n = a_1 q_a^{n-1} - b_1 q_b^{n-1}$.
Аналогично пункту а), отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_1 q_a^n - b_1 q_b^n}{a_1 q_a^{n-1} - b_1 q_b^{n-1}}$ в общем случае зависит от $n$.
Например, пусть $a_n$ — прогрессия $2, 4, 8, ...$, то есть $a_1=2, q_a=2$. Пусть $b_n$ — прогрессия $1, 3, 9, ...$, то есть $b_1=1, q_b=3$.
Тогда последовательность $c_n = a_n - b_n$ будет: $c_1=2-1=1$, $c_2=4-3=1$, $c_3=8-9=-1$, ...
Проверим отношения членов: $\frac{c_2}{c_1} = \frac{1}{1} = 1$, а $\frac{c_3}{c_2} = \frac{-1}{1} = -1$.
Так как $1 \ne -1$, последовательность не является геометрической прогрессией.
Примечание: Разность будет геометрической прогрессией только в том случае, если $q_a=q_b=q$. Тогда $c_n = (a_1-b_1)q^{n-1}$, что является определением геометрической прогрессии (при условии, что $a_1 \ne b_1$).

Ответ: нет, в общем случае не является.

в) Рассмотрим последовательность $c_n = a_n \cdot b_n$.

Ее $n$-й член равен $c_n = (a_1 q_a^{n-1}) \cdot (b_1 q_b^{n-1}) = (a_1 b_1) \cdot (q_a q_b)^{n-1}$.
Это выражение является формулой $n$-го члена геометрической прогрессии, у которой первый член $c_1 = a_1 b_1$, а знаменатель $q = q_a q_b$.
Проверим отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_{n+1} b_{n+1}}{a_n b_n} = \frac{(a_1 q_a^n)(b_1 q_b^n)}{(a_1 q_a^{n-1})(b_1 q_b^{n-1})} = \frac{q_a^n q_b^n}{q_a^{n-1} q_b^{n-1}} = q_a q_b$.
Отношение постоянно и равно $q_a q_b$, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да.

г) Рассмотрим последовательность $c_n = \frac{a_n}{b_n}$ (все $b_i \ne 0$).

Условие $b_i \ne 0$ означает, что $b_1 \ne 0$ и $q_b \ne 0$.
Ее $n$-й член равен $c_n = \frac{a_1 q_a^{n-1}}{b_1 q_b^{n-1}} = \frac{a_1}{b_1} \cdot \left(\frac{q_a}{q_b}\right)^{n-1}$.
Это выражение является формулой $n$-го члена геометрической прогрессии, у которой первый член $c_1 = \frac{a_1}{b_1}$, а знаменатель $q = \frac{q_a}{q_b}$.
Проверим отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_{n+1}/b_{n+1}}{a_n/b_n} = \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} \cdot \frac{b_n}{a_n} = \frac{a_1 q_a^n}{b_1 q_b^n} \cdot \frac{b_1 q_b^{n-1}}{a_1 q_a^{n-1}} = \frac{q_a}{q_b}$.
Отношение постоянно и равно $\frac{q_a}{q_b}$, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да.