Номер 1154, страница 290 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1154. Сумма трёх чисел, образующих конечную арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна $ \frac{14}{9} $. Найдите эти числа.

Обозначим три числа, образующие конечную арифметическую прогрессию, как $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Удобно представить эти числа через средний член $a$ и разность прогрессии $d$. Тогда последовательность чисел будет выглядеть так: $a - d$, $a$, $a + d$.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 2. Составим первое уравнение: $(a - d) + a + (a + d) = 2$ Приведя подобные слагаемые, получаем: $3a = 2$ Отсюда находим значение среднего члена прогрессии: $a = \frac{2}{3}$

Также по условию, сумма квадратов этих же чисел равна $\frac{14}{9}$. Составим второе уравнение: $(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = \frac{14}{9}$ Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = \frac{14}{9}$ Приведем подобные члены: $3a^2 + 2d^2 = \frac{14}{9}$

Теперь подставим найденное значение $a = \frac{2}{3}$ в это уравнение, чтобы найти разность прогрессии $d$: $3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2d^2 = \frac{14}{9}$ $3\left(\frac{4}{9}\right) + 2d^2 = \frac{14}{9}$ $\frac{12}{9} + 2d^2 = \frac{14}{9}$ Выразим $2d^2$: $2d^2 = \frac{14}{9} - \frac{12}{9}$ $2d^2 = \frac{2}{9}$ $d^2 = \frac{1}{9}$ Отсюда находим два возможных значения для $d$: $d = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$

Рассмотрим оба случая.

1. Если $d = \frac{1}{3}$, то искомые числа равны: $a_1 = a - d = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ $a_2 = a = \frac{2}{3}$ $a_3 = a + d = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ Получаем числа: $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1$.

2. Если $d = -\frac{1}{3}$, то искомые числа равны: $a_1 = a - d = \frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ $a_2 = a = \frac{2}{3}$ $a_3 = a + d = \frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ Получаем числа: $1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}$.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор чисел.

Ответ: $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1$.