Номер 1151, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1151. Найдите три числа $b_1, b_2, b_3$, образующие конечную арифметическую прогрессию, если известно, что их сумма равна 30, а числа $b_1 - 5, b_2 - 4, b_3$ образуют конечную геометрическую прогрессию.

Пусть три числа $b_1, b_2, b_3$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d$. Тогда их можно представить в виде $b_1 = b_2 - d$, $b_2$, $b_3 = b_2 + d$.

По условию, сумма этих чисел равна 30:

$b_1 + b_2 + b_3 = 30$

Подставим выражения для $b_1$ и $b_3$:

$(b_2 - d) + b_2 + (b_2 + d) = 30$

$3b_2 = 30$

$b_2 = 10$

Таким образом, средний член прогрессии равен 10. Теперь мы можем выразить первый и третий члены через разность $d$:

$b_1 = 10 - d$

$b_3 = 10 + d$

Теперь рассмотрим второе условие. Числа $b_1 - 5$, $b_2 - 4$, $b_3$ образуют конечную геометрическую прогрессию. Подставим найденные значения $b_1, b_2, b_3$:

Первый член геометрической прогрессии: $(10 - d) - 5 = 5 - d$

Второй член геометрической прогрессии: $10 - 4 = 6$

Третий член геометрической прогрессии: $10 + d$

Итак, последовательность $5 - d, 6, 10 + d$ является геометрической прогрессией. Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов. Применим это свойство:

$6^2 = (5 - d)(10 + d)$

$36 = 50 + 5d - 10d - d^2$

$36 = 50 - 5d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$d^2 + 5d + 36 - 50 = 0$

$d^2 + 5d - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $d$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81$

Корни уравнения:

$d_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$d_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Мы получили два возможных значения для разности арифметической прогрессии, а значит, есть два возможных набора чисел.

Случай 1: $d = 2$

Найдем числа $b_1, b_2, b_3$:

$b_1 = 10 - d = 10 - 2 = 8$

$b_2 = 10$

$b_3 = 10 + d = 10 + 2 = 12$

Получаем числа: 8, 10, 12.

Случай 2: $d = -7$

Найдем числа $b_1, b_2, b_3$:

$b_1 = 10 - d = 10 - (-7) = 17$

$b_2 = 10$

$b_3 = 10 + d = 10 + (-7) = 3$

Получаем числа: 17, 10, 3.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.
Проверка для (8, 10, 12): сумма 30. Числа 8-5=3, 10-4=6, 12 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2.
Проверка для (17, 10, 3): сумма 30. Числа 17-5=12, 10-4=6, 3 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2.

Ответ: Искомые числа могут быть (8, 10, 12) или (17, 10, 3).