Номер 1145, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1145. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если известно, что первый член равен $b_1 = 9$, а сумма первых трёх членов равна $S_3 = 58.59$.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а знаменатель прогрессии как $q$.

Из условия задачи известно:
Первый член прогрессии: $b_1 = 9$.
Сумма первых трёх членов: $S_3 = 58,59$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Для $n=3$ сумму можно также записать как $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1 + q + q^2)$.

Подставим известные значения, чтобы найти знаменатель $q$:
$9(1 + q + q^2) = 58,59$
Разделим обе части на 9:
$1 + q + q^2 = \frac{58,59}{9}$
$1 + q + q^2 = 6,51$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $aq^2 + bq + c = 0$:
$q^2 + q + 1 - 6,51 = 0$
$q^2 + q - 5,51 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5,51) = 1 + 22,04 = 23,04$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{23,04} = 4,8$.

Теперь найдем два возможных значения для знаменателя $q$:
$q_1 = \frac{-1 + 4,8}{2} = \frac{3,8}{2} = 1,9$
$q_2 = \frac{-1 - 4,8}{2} = \frac{-5,8}{2} = -2,9$

Так как оба значения $q$ удовлетворяют условию, необходимо найти сумму первых пяти членов ($S_5$) для каждого из двух возможных случаев.

Случай 1: $q = 1,9$
Используем формулу суммы для $S_5$:
$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{9(1,9^5 - 1)}{1,9 - 1} = \frac{9(1,9^5 - 1)}{0,9} = 10(1,9^5 - 1)$
Вычислим $1,9^5 = 24,76099$.
$S_5 = 10(24,76099 - 1) = 10 \cdot 23,76099 = 237,6099$.

Случай 2: $q = -2,9$
Найдем сумму $S_5$ для этого значения $q$:
$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{9((-2,9)^5 - 1)}{-2,9 - 1} = \frac{9((-2,9)^5 - 1)}{-3,9}$
Вычислим $(-2,9)^5 = -205,11149$.
$S_5 = \frac{9(-205,11149 - 1)}{-3,9} = \frac{9(-206,11149)}{-3,9} = \frac{-1855,00341}{-3,9} = 475,6419$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.
Ответ: 237,6099 или 475,6419.