Номер 1149, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1149. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $b_1, b_2, ..., b_n, ...$, если известно, что:

a) $b_1 + b_4 = \frac{7}{16}$, $b_3 - b_2 + b_1 = \frac{7}{8}$;

б) $b_2 - b_1 = 2$, $b_3 - b_1 = 8$.

Дана система уравнений для членов геометрической прогрессии:

$b_1 + b_4 = \frac{7}{16}$

$b_3 - b_2 + b_1 = \frac{7}{8}$

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии. Выразим $b_2$, $b_3$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в исходную систему уравнений:

$b_1 + b_1 q^3 = \frac{7}{16} \implies b_1(1 + q^3) = \frac{7}{16}$

$b_1 q^2 - b_1 q + b_1 = \frac{7}{8} \implies b_1(q^2 - q + 1) = \frac{7}{8}$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Разделим первое уравнение на второе. Заметим, что $b_1 \neq 0$ (иначе левые части были бы равны 0, а не $7/16$ и $7/8$). Также, выражение $q^2 - q + 1 \neq 0$, так как дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, и ветви параболы направлены вверх. Поэтому деление возможно.

$\frac{b_1(1 + q^3)}{b_1(q^2 - q + 1)} = \frac{7/16}{7/8}$

Сократим $b_1$ и упростим правую часть:

$\frac{1 + q^3}{q^2 - q + 1} = \frac{7}{16} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{2}$

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к числителю левой части:

$\frac{(1+q)(q^2-q+1)}{q^2-q+1} = \frac{1}{2}$

Сократим дробь на $(q^2-q+1)$:

$1 + q = \frac{1}{2}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ во второе уравнение системы $b_1(q^2 - q + 1) = \frac{7}{8}$:

$b_1 \cdot ((- \frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 1) = \frac{7}{8}$

$b_1 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1) = \frac{7}{8}$

$b_1 \cdot (\frac{1+2+4}{4}) = \frac{7}{8}$

$b_1 \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{8}$

$b_1 = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = -\frac{1}{2}$.

Дана система уравнений для членов геометрической прогрессии:

$b_2 - b_1 = 2$

$b_3 - b_1 = 8$

Используя формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, выразим $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

Подставим эти выражения в систему:

$b_1 q - b_1 = 2 \implies b_1(q - 1) = 2$

$b_1 q^2 - b_1 = 8 \implies b_1(q^2 - 1) = 8$

Разделим второе уравнение на первое. Убедимся, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 1$, иначе левые части уравнений были бы равны нулю, что противоречит правым частям (2 и 8).

$\frac{b_1(q^2 - 1)}{b_1(q - 1)} = \frac{8}{2}$

Сократим $b_1$ и упростим правую часть:

$\frac{q^2 - 1}{q - 1} = 4$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю левой части:

$\frac{(q-1)(q+1)}{q-1} = 4$

Сократим дробь на $(q-1)$:

$q + 1 = 4$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = 4 - 1 = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение системы $b_1(q - 1) = 2$:

$b_1(3 - 1) = 2$

$b_1 \cdot 2 = 2$

$b_1 = 1$

Ответ: $b_1 = 1$, $q = 3$.