Номер 1152, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1152. Найдите $n$ — число членов конечной геометрической прогрессии $b_1, b_2, ..., b_n$, если известно, что $b_1 + b_5 = 51$, $b_2 + b_6 = 102$, $S_n = 3069$.

Пусть $b_1$ — первый член конечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула $k$-го члена геометрической прогрессии: $b_k = b_1 q^{k-1}$.

Согласно условию задачи, мы имеем систему из двух уравнений:

1) $b_1 + b_5 = 51$

2) $b_2 + b_6 = 102$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_1 + b_1 q^{5-1} = 51 \implies b_1(1 + q^4) = 51$

$b_1 q^{2-1} + b_1 q^{6-1} = 102 \implies b_1 q + b_1 q^5 = 102 \implies b_1 q(1 + q^4) = 102$

Запишем получившуюся систему:

$\begin{cases} b_1(1 + q^4) = 51 \\ b_1 q(1 + q^4) = 102 \end{cases}$

Разделим второе уравнение системы на первое (это возможно, так как $b_1(1 + q^4) = 51 \neq 0$):

$\frac{b_1 q(1 + q^4)}{b_1(1 + q^4)} = \frac{102}{51}$

После сокращения получаем:

$q = 2$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q=2$ в первое уравнение системы:

$b_1(1 + 2^4) = 51$

$b_1(1 + 16) = 51$

$17 b_1 = 51$

$b_1 = \frac{51}{17}$

$b_1 = 3$

Таким образом, первый член прогрессии равен 3, а знаменатель равен 2.

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

По условию, $S_n = 3069$. Подставим известные нам значения $b_1=3$ и $q=2$ в формулу:

$3069 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$

$3069 = \frac{3(2^n - 1)}{1}$

$3069 = 3(2^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{3069}{3} = 2^n - 1$

$1023 = 2^n - 1$

Прибавим 1 к обеим частям:

$1024 = 2^n$

Мы знаем, что $1024$ это $2$ в десятой степени:

$2^{10} = 2^n$

Отсюда следует, что $n=10$.

Ответ: $n = 10$.