Номер 1146, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1146. a) Как изменится разность конечной арифметической прогрессии, если порядок её членов изменить на противоположный?

б) Сколько членов в конечной арифметической прогрессии, если её крайние члены $10$ и $7,5$, а разность равна $-0,4$?

а) Пусть дана конечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, \dots, a_n$ с разностью $d$. По определению, разность прогрессии — это постоянная величина, на которую отличается каждый последующий член от предыдущего: $d = a_{k+1} - a_k$ для любого $k$ от $1$ до $n-1$.

Если изменить порядок членов на противоположный, мы получим новую последовательность $b_1, b_2, \dots, b_n$, где $b_1 = a_n$, $b_2 = a_{n-1}$, и так далее, до $b_n = a_1$.

Чтобы эта новая последовательность была арифметической прогрессией, разность между её соседними членами также должна быть постоянной. Найдём эту новую разность, обозначив её $d'$:

$d' = b_2 - b_1$

Подставим значения из исходной прогрессии:

$d' = a_{n-1} - a_n$

Мы знаем, что для исходной прогрессии $a_n - a_{n-1} = d$. Выразим отсюда $a_{n-1} - a_n$:

$a_{n-1} - a_n = -(a_n - a_{n-1}) = -d$

Следовательно, $d' = -d$. Это означает, что разность новой прогрессии будет равна разности исходной прогрессии, взятой с противоположным знаком.

Ответ: Разность изменит свой знак на противоположный.

б) Для решения этой задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — n-й (последний) член, $n$ — количество членов, а $d$ — разность прогрессии.

Из условия нам известны:

• Крайние члены: 10 и 7,5.
• Разность прогрессии: $d = -0.4$.

Поскольку разность $d = -0.4$ является отрицательным числом, прогрессия является убывающей. Это значит, что её первый член должен быть больше последнего. Таким образом, мы можем однозначно определить:

• Первый член $a_1 = 10$.
• Последний член $a_n = 7.5$.

Теперь подставим известные значения в формулу n-го члена и решим уравнение относительно $n$:

$7.5 = 10 + (n-1) \cdot (-0.4)$

Вычтем 10 из обеих частей уравнения:

$7.5 - 10 = (n-1) \cdot (-0.4)$

$-2.5 = -0.4(n-1)$

Теперь разделим обе части на -0,4, чтобы найти $n-1$:

$n-1 = \frac{-2.5}{-0.4} = \frac{25}{4}$

$n-1 = 6.25$

Прибавим 1 к обеим частям:

$n = 6.25 + 1$

$n = 7.25$

Количество членов в последовательности ($n$) по определению должно быть натуральным числом (целым и положительным). Поскольку в результате вычислений мы получили дробное число $7.25$, это означает, что не существует конечной арифметической прогрессии, которая удовлетворяла бы всем заданным условиям. Другими словами, если начать с члена 10 и вычитать по 0,4, то член 7,5 никогда не будет получен в этой последовательности.

Ответ: Конечной арифметической прогрессии с заданными параметрами не существует, так как число её членов должно быть натуральным числом.