Номер 1144, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1144. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 28, сумма следующих трёх членов равна 3,5. Найдите восьмой член прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию, сумма первых трёх членов прогрессии ($b_1, b_2, b_3$) равна 28. Запишем это в виде уравнения, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $b_1 + b_1q + b_1q^2 = 28$

Вынесем $b_1$ за скобки: $b_1(1 + q + q^2) = 28$

Сумма следующих трёх членов ($b_4, b_5, b_6$) равна 3,5. Запишем второе уравнение: $b_4 + b_5 + b_6 = 3,5$

Выразим эти члены через $b_1$ и $q$: $b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = 3,5$

Вынесем за скобки общий множитель $b_1q^3$: $b_1q^3(1 + q + q^2) = 3,5$

Мы получили систему из двух уравнений:

1. $b_1(1 + q + q^2) = 28$
2. $b_1q^3(1 + q + q^2) = 3,5$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти $q$: $\frac{b_1q^3(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{3,5}{28}$

После сокращения левой части получаем: $q^3 = \frac{3,5}{28}$

Упростим правую часть: $q^3 = \frac{35}{280} = \frac{1}{8}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии: $q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим значение $q$ в первое уравнение, чтобы найти $b_1$: $b_1(1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 28$ $b_1(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 28$ $b_1(\frac{4+2+1}{4}) = 28$ $b_1(\frac{7}{4}) = 28$

Находим первый член прогрессии: $b_1 = 28 \cdot \frac{4}{7} = 4 \cdot 4 = 16$

Наконец, найдём восьмой член прогрессии ($b_8$) по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7$

Подставляем известные значения $b_1=16$ и $q=\frac{1}{2}$: $b_8 = 16 \cdot (\frac{1}{2})^7 = 16 \cdot \frac{1}{128} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$