Номер 1139, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1139. Первый член конечной геометрической прогрессии равен 1, последний равен 64, сумма всех членов равна 127. Найдите число членов прогрессии.

Обозначим данные конечной геометрической прогрессии: $b_1$ — первый член, $b_n$ — последний (n-й) член, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — число членов, $S_n$ — сумма всех членов.

По условию задачи имеем:

• $b_1 = 1$
• $b_n = 64$
• $S_n = 127$

Требуется найти $n$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии, выраженной через первый и последний члены:

$S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$

Эта формула справедлива при $q \neq 1$. Если бы $q=1$, то все члены прогрессии были бы равны первому, то есть $b_1 = b_n = 1$. Но по условию $b_n = 64$, что противоречит данному предположению. Значит, $q \neq 1$.

Подставим известные значения в формулу для суммы, чтобы найти знаменатель $q$:

$127 = \frac{64 \cdot q - 1}{q - 1}$

Решим полученное уравнение:

$127(q - 1) = 64q - 1$

$127q - 127 = 64q - 1$

$127q - 64q = 127 - 1$

$63q = 126$

$q = \frac{126}{63}$

$q = 2$

Теперь, зная знаменатель прогрессии $q=2$, используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим известные значения $b_1=1$, $b_n=64$ и $q=2$:

$64 = 1 \cdot 2^{n-1}$

$64 = 2^{n-1}$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим 64 как степень числа 2. Известно, что $2^6 = 64$.

$2^6 = 2^{n-1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$6 = n - 1$

$n = 6 + 1$

$n = 7$

Таким образом, в прогрессии 7 членов.

Ответ: 7