Номер 1135, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1135. Найдите последний член конечной геометрической прогрессии, если известно, что сумма первых двух членов равна 4, разность этих же членов равна 2, число членов прогрессии равно 8.

Обозначим члены конечной геометрической прогрессии как $b_n$. По условию задачи нам даны следующие сведения:
Сумма первых двух членов равна 4: $b_1 + b_2 = 4$.
Разность этих же членов равна 2: $b_1 - b_2 = 2$.
Число членов прогрессии равно 8: $n = 8$.

Для нахождения первого ($b_1$) и второго ($b_2$) членов прогрессии решим систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} b_1 + b_2 = 4 \\ b_1 - b_2 = 2 \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(b_1 + b_2) + (b_1 - b_2) = 4 + 2$
$2b_1 = 6$
$b_1 = 3$
Теперь подставим найденное значение $b_1=3$ в первое уравнение, чтобы найти $b_2$:
$3 + b_2 = 4$
$b_2 = 4 - 3$
$b_2 = 1$

Теперь, зная первые два члена, мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии $q$. Знаменатель прогрессии - это отношение последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{3}$

Нам нужно найти последний, то есть восьмой член прогрессии ($b_8$). Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим наши значения $b_1 = 3$, $q = \frac{1}{3}$ и $n=8$:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^7$
$b_8 = 3 \cdot \frac{1^7}{3^7} = 3 \cdot \frac{1}{3^7} = \frac{3}{3^7} = \frac{1}{3^6}$
Вычислим значение $3^6$:
$3^6 = 729$
Следовательно, последний член прогрессии равен:
$b_8 = \frac{1}{729}$
Ответ: $\frac{1}{729}$