Номер 1138, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1138. Первый член конечной геометрической прогрессии равен $\frac{3}{4}$, последние два члена равны соответственно 750 и 7500. Найдите число членов прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член конечной геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — число её членов.

По условию задачи нам даны:
Первый член прогрессии: $b_1 = \frac{3}{4}$.
Предпоследний член прогрессии: $b_{n-1} = 750$.
Последний член прогрессии: $b_n = 7500$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. По определению геометрической прогрессии, каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на знаменатель: $b_n = b_{n-1} \cdot q$.

Подставим известные значения последних двух членов:
$7500 = 750 \cdot q$

Отсюда выразим и вычислим $q$:
$q = \frac{7500}{750} = 10$

Теперь, зная первый член $b_1$, знаменатель $q$ и последний член $b_n$, мы можем найти общее число членов прогрессии $n$ по формуле n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения в эту формулу:
$7500 = \frac{3}{4} \cdot 10^{n-1}$

Решим полученное уравнение относительно $n$.
Умножим обе части уравнения на 4:
$7500 \cdot 4 = 3 \cdot 10^{n-1}$
$30000 = 3 \cdot 10^{n-1}$

Разделим обе части на 3:
$\frac{30000}{3} = 10^{n-1}$
$10000 = 10^{n-1}$

Представим число 10000 как степень числа 10: $10000 = 10^4$.
$10^4 = 10^{n-1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$4 = n - 1$

Отсюда находим $n$:
$n = 4 + 1 = 5$

Следовательно, в данной геометрической прогрессии 5 членов.

Ответ: 5