Номер 1131, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1131. Между числами 1 и 14 641 найдите три числа, которые вместе с заданными числами являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$. Согласно условию, нам известны первый и последний члены последовательности, а между ними находятся еще три члена. Таким образом, мы имеем дело с пятью последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть первый член прогрессии $b_1 = 1$, а пятый член $b_5 = 14 641$. Нам необходимо найти второй, третий и четвертый члены этой прогрессии, то есть $b_2, b_3, b_4$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Воспользуемся этой формулой для пятого члена прогрессии:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Теперь подставим известные нам значения $b_1$ и $b_5$:
$14 641 = 1 \cdot q^4$
$q^4 = 14 641$

Чтобы найти знаменатель $q$, необходимо извлечь корень четвертой степени из 14 641. Можно заметить, что $10^4 = 10 000$, а $20^4 = 160 000$, значит, искомое число находится между 10 и 20. Проверим число 11:
$11^2 = 121$
$11^4 = (11^2)^2 = 121^2 = 14 641$

Итак, мы получили уравнение $q^4 = 11^4$. Это уравнение имеет два действительных корня: $q = 11$ и $q = -11$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: знаменатель прогрессии $q = 11$

Находим искомые три числа:
$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot 11 = 11$
$b_3 = b_2 \cdot q = 11 \cdot 11 = 121$
$b_4 = b_3 \cdot q = 121 \cdot 11 = 1331$
В этом случае искомые числа: 11, 121, 1331.

Случай 2: знаменатель прогрессии $q = -11$

Находим искомые три числа:
$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot (-11) = -11$
$b_3 = b_2 \cdot q = -11 \cdot (-11) = 121$
$b_4 = b_3 \cdot q = 121 \cdot (-11) = -1331$
В этом случае искомые числа: -11, 121, -1331.

Оба набора чисел являются решением задачи.

Ответ: 11, 121, 1331 или -11, 121, -1331.