Номер 1125, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1125. Числа $a, b, c$ и числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ являются последовательными членами арифметических прогрессий. Докажите, что $a=b=c$.

По условию, числа $a, b, c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Для любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов. Следовательно, для $b$ выполняется равенство:
$b = \frac{a+c}{2}$
Умножив обе части на 2, получим:
$2b = a + c$ (1)

Также по условию, числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Заметим, что из этого следует, что $a, b, c$ не равны нулю. Применяя то же свойство арифметической прогрессии, получаем:
$\frac{1}{b} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{c}}{2}$
Преобразуем правую часть уравнения:
$\frac{1}{b} = \frac{\frac{c+a}{ac}}{2} = \frac{a+c}{2ac}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя переменными. Подставим выражение для $a+c$ из уравнения (1) в уравнение (2):
$\frac{1}{b} = \frac{2b}{2ac}$
$\frac{1}{b} = \frac{b}{ac}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$b^2 = ac$ (3)

Теперь вернемся к уравнению (1) и выразим из него $c$:
$c = 2b - a$
Подставим это выражение для $c$ в уравнение (3):
$b^2 = a(2b - a)$
$b^2 = 2ab - a^2$
Перенесем все члены в левую часть:
$a^2 - 2ab + b^2 = 0$
Это формула квадрата разности:
$(a - b)^2 = 0$
Отсюда следует, что $a - b = 0$, то есть $a = b$.

Теперь, зная, что $a=b$, подставим это в уравнение (1):
$2b = a + c$
$2b = b + c$
$c = 2b - b$
$c = b$

Таким образом, мы получили, что $a=b$ и $c=b$. Следовательно, все три числа равны: $a=b=c$, что и требовалось доказать.

Ответ:
Из того, что $a, b, c$ — последовательные члены арифметической прогрессии, следует $b = \frac{a+c}{2}$, или $2b = a+c$.
Из того, что $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ — последовательные члены арифметической прогрессии, следует $\frac{1}{b} = \frac{1/a + 1/c}{2}$, что преобразуется к виду $\frac{1}{b} = \frac{a+c}{2ac}$.
Подставляя $a+c = 2b$ во второе равенство, получаем $\frac{1}{b} = \frac{2b}{2ac}$, откуда следует $b^2=ac$.
Мы получили систему уравнений:
$\begin{cases} a+c=2b \\ ac=b^2 \end{cases}$
Подставляя $c=2b-a$ из первого уравнения во второе, имеем $a(2b-a)=b^2$, что равносильно $a^2-2ab+b^2=0$, или $(a-b)^2=0$. Отсюда $a=b$.
Подставляя $a=b$ в $a+c=2b$, получаем $b+c=2b$, откуда $c=b$.
Таким образом, $a=b=c$.