Номер 1122, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1122. Сумма первых 40 членов арифметической прогрессии равна 340, а сумма первых 39 её членов равна 325. Найдите разность прогрессии.

Обозначим сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии как $S_n$, а $n$-й член как $a_n$. По условию задачи нам дано, что сумма первых 40 членов $S_{40} = 340$, а сумма первых 39 членов $S_{39} = 325$.

Сумма первых 40 членов может быть представлена как сумма первых 39 членов плюс сороковой член ($a_{40}$). Это можно записать в виде формулы: $S_{40} = S_{39} + a_{40}$.

Из этой формулы мы можем выразить и вычислить сороковой член прогрессии:

$a_{40} = S_{40} - S_{39}$

Подставим известные значения:

$a_{40} = 340 - 325 = 15$

Теперь воспользуемся другой формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая связывает сумму с первым и последним членами: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Применим эту формулу для $n=40$:

$S_{40} = \frac{a_1 + a_{40}}{2} \cdot 40$

Подставим известные значения $S_{40} = 340$ и $a_{40} = 15$, чтобы найти первый член прогрессии $a_1$:

$340 = \frac{a_1 + 15}{2} \cdot 40$

Упростим выражение, сократив 40 и 2:

$340 = (a_1 + 15) \cdot 20$

Разделим обе части уравнения на 20:

$17 = a_1 + 15$

Отсюда находим $a_1$:

$a_1 = 17 - 15 = 2$

Теперь, зная первый член ($a_1=2$) и сороковой член ($a_{40}=15$), мы можем найти разность прогрессии $d$. Для этого используем формулу для нахождения $n$-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Применим формулу для $n=40$:

$a_{40} = a_1 + (40-1)d$

Подставим известные значения $a_1$ и $a_{40}$:

$15 = 2 + 39d$

Решим полученное линейное уравнение относительно $d$:

$15 - 2 = 39d$

$13 = 39d$

$d = \frac{13}{39} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$