Номер 1119, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1119. Сумма всех членов конечной арифметической прогрессии равна 28, третий член равен 8, а четвёртый равен 5. Найдите число членов прогрессии и её крайние члены.

Пусть дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$. По условию задачи известны:

• Сумма всех членов прогрессии $S_n = 28$.
• Третий член прогрессии $a_3 = 8$.
• Четвёртый член прогрессии $a_4 = 5$.

Требуется найти число членов прогрессии $n$ и её крайние члены (первый $a_1$ и последний $a_n$).

Для начала найдём разность прогрессии $d$. Разность — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. $d = a_4 - a_3 = 5 - 8 = -3$.

Зная разность, мы можем найти первый член прогрессии $a_1$, который является одним из крайних членов. Для этого воспользуемся формулой k-го члена арифметической прогрессии $a_k = a_1 + (k-1)d$ для $k=3$: $a_3 = a_1 + (3-1)d$ $8 = a_1 + 2 \cdot (-3)$ $8 = a_1 - 6$ $a_1 = 14$.

число членов прогрессии

Для нахождения числа членов $n$ используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. Подставим в неё уже известные нам значения $S_n=28$, $a_1=14$ и $d=-3$: $28 = \frac{2 \cdot 14 + (-3)(n-1)}{2} \cdot n$ $56 = (28 - 3n + 3)n$ $56 = 31n - 3n^2$ $3n^2 - 31n + 56 = 0$.
Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 961 - 672 = 289$. Так как $\sqrt{289}=17$, корни уравнения: $n_1 = \frac{31 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{48}{6} = 8$ $n_2 = \frac{31 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Поскольку число членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только корень $n=8$.
Ответ: 8.

и её крайние члены

Крайние члены — это первый ($a_1$) и последний ($a_n$) члены прогрессии. Первый член $a_1$ был найден ранее, он равен 14. Последний член — это $a_n = a_8$, так как мы определили, что число членов прогрессии равно 8. Найдём его по формуле k-го члена: $a_8 = a_1 + (8-1)d = 14 + 7 \cdot (-3) = 14 - 21 = -7$.
Ответ: 14 и -7.