Номер 1113, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1113. a) Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что пятый её член равен 19, а девятый член равен 35.

б) Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что четвёртый её член равен –13, а десятый член равен –43.

в) Разность арифметической прогрессии равна 9,5, а двенадцатый член равен 105,25. Найдите первый член прогрессии.

г) Числа $\frac{1}{2}$ и $-1\frac{7}{8}$ — первый и двадцатый члены арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии.

а) Для нахождения разности арифметической прогрессии ($d$) воспользуемся формулой, связывающей два любых ее члена: $a_m = a_n + (m-n)d$.
По условию, пятый член $a_5 = 19$, а девятый член $a_9 = 35$.
Подставим эти значения в формулу, где $m=9$ и $n=5$:
$a_9 = a_5 + (9-5)d$
$35 = 19 + 4d$
Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:
$4d = 35 - 19$
$4d = 16$
$d = \frac{16}{4}$
$d = 4$
Ответ: 4

б) Аналогично пункту а), используем формулу $a_m = a_n + (m-n)d$.
По условию, четвертый член $a_4 = -13$, а десятый член $a_{10} = -43$.
Подставим эти значения в формулу, где $m=10$ и $n=4$:
$a_{10} = a_4 + (10-4)d$
$-43 = -13 + 6d$
Решим уравнение относительно $d$:
$6d = -43 - (-13)$
$6d = -43 + 13$
$6d = -30$
$d = \frac{-30}{6}$
$d = -5$
Ответ: -5

в) Для нахождения первого члена прогрессии ($a_1$) используем формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию, разность $d = 9,5$, а двенадцатый член $a_{12} = 105,25$.
Подставим известные значения в формулу для $n=12$:
$a_{12} = a_1 + (12-1)d$
$105,25 = a_1 + 11 \times 9,5$
Вычислим произведение:
$11 \times 9,5 = 104,5$
Подставим результат обратно в уравнение:
$105,25 = a_1 + 104,5$
Теперь найдем $a_1$:
$a_1 = 105,25 - 104,5$
$a_1 = 0,75$
Ответ: 0,75

г) Снова используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию, первый член $a_1 = \frac{1}{2}$ и двадцатый член $a_{20} = -1\frac{7}{8}$.
Переведем смешанную дробь в неправильную:
$a_{20} = -1\frac{7}{8} = -\frac{1 \times 8 + 7}{8} = -\frac{15}{8}$
Подставим значения $a_1$ и $a_{20}$ в формулу для $n=20$:
$a_{20} = a_1 + (20-1)d$
$-\frac{15}{8} = \frac{1}{2} + 19d$
Решим уравнение относительно $d$:
$19d = -\frac{15}{8} - \frac{1}{2}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 8:
$19d = -\frac{15}{8} - \frac{4}{8}$
$19d = -\frac{19}{8}$
$d = \frac{-19/8}{19}$
$d = -\frac{1}{8}$
Ответ: $-\frac{1}{8}$