Номер 1106, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1106. a) $1 < \frac{3x-1}{2x+1} < 2;$

б) $1 < \frac{2x-1}{3x+1} < 2.$

а) Исходное двойное неравенство $1 < \frac{3x-1}{2x+1} < 2$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{3x-1}{2x+1} > 1 \\ \frac{3x-1}{2x+1} < 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Решим первое неравенство: $\frac{3x-1}{2x+1} > 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x-1}{2x+1} - 1 > 0$

$\frac{3x-1 - (2x+1)}{2x+1} > 0$

$\frac{x-2}{2x+1} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$ и $2x+1=0 \implies x=-0,5$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Определив знаки выражения $\frac{x-2}{2x+1}$ на каждом из них, получим, что неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -0,5) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{3x-1}{2x+1} < 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x-1}{2x+1} - 2 < 0$

$\frac{3x-1 - 2(2x+1)}{2x+1} < 0$

$\frac{3x-1 - 4x - 2}{2x+1} < 0$

$\frac{-x-3}{2x+1} < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x+3}{2x+1} > 0$

Снова применим метод интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x+3=0 \implies x=-3$ и $2x+1=0 \implies x=-0,5$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Определив знаки выражения $\frac{x+3}{2x+1}$, находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (-0,5; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение системы — это пересечение множеств, найденных в пунктах 1 и 2: $x \in ((-\infty; -0,5) \cup (2; +\infty)) \cap ((-\infty; -3) \cup (-0,5; +\infty))$.

Изобразив эти множества на числовой оси, находим их пересечение.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

б) Исходное двойное неравенство $1 < \frac{2x-1}{3x+1} < 2$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{2x-1}{3x+1} > 1 \\ \frac{2x-1}{3x+1} < 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Решим первое неравенство: $\frac{2x-1}{3x+1} > 1$.

$\frac{2x-1}{3x+1} - 1 > 0$

$\frac{2x-1 - (3x+1)}{3x+1} > 0$

$\frac{-x-2}{3x+1} > 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{x+2}{3x+1} < 0$

Методом интервалов находим корни: $x=-2$ и $x=-1/3$. Выражение отрицательно между корнями, так как ветви параболы (для произведения $(x+2)(3x+1)$) направлены вверх. Решение: $x \in (-2; -1/3)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{2x-1}{3x+1} < 2$.

$\frac{2x-1}{3x+1} - 2 < 0$

$\frac{2x-1 - 2(3x+1)}{3x+1} < 0$

$\frac{2x-1 - 6x - 2}{3x+1} < 0$

$\frac{-4x-3}{3x+1} < 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{4x+3}{3x+1} > 0$

Методом интервалов находим корни: $x=-3/4$ и $x=-1/3$. Выражение положительно вне интервала между корнями. Решение: $x \in (-\infty; -3/4) \cup (-1/3; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение системы — это пересечение полученных множеств: $x \in (-2; -1/3) \cap ((-\infty; -3/4) \cup (-1/3; +\infty))$.

Учитывая, что $-2 < -3/4 < -1/3$, пересечением является интервал от -2 до -3/4.

Ответ: $x \in (-2; -3/4)$.