Номер 1104, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1104. а) $ \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 5} > 0; $

б) $ \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 2x + 3} < 0; $

в) $ \frac{3 - x - 2x^2}{x^2 - 36} > 0; $

г) $ \frac{1,8}{x^3 - x^2 + x - 1} < 0. $

а) Для решения неравенства $\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 5} > 0$ применим метод интервалов.

1. Найдём корни числителя: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

2. Найдём корень знаменателя: $x + 5 = 0$, откуда $x = -5$.

3. Нанесём точки -5, -1, 3 на числовую прямую. Они разбивают прямую на четыре интервала. Точки являются выколотыми, так как неравенство строгое.

4. Определим знак выражения на каждом интервале, подставляя в исходное выражение пробные точки:
- Интервал $(3; +\infty)$: возьмём $x=4$. $\frac{4^2 - 2(4) - 3}{4 + 5} = \frac{16 - 8 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(-1; 3)$: возьмём $x=0$. $\frac{0^2 - 2(0) - 3}{0 + 5} = \frac{-3}{5} < 0$. Знак "-".
- Интервал $(-5; -1)$: возьмём $x=-2$. $\frac{(-2)^2 - 2(-2) - 3}{-2 + 5} = \frac{4 + 4 - 3}{3} = \frac{5}{3} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(-\infty; -5)$: возьмём $x=-6$. $\frac{(-6)^2 - 2(-6) - 3}{-6 + 5} = \frac{36 + 12 - 3}{-1} = -45 < 0$. Знак "-".

5. Выбираем интервалы со знаком "+", так как по условию выражение должно быть больше нуля.

Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (3; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 2x + 3} < 0$.

1. Рассмотрим знаменатель $x^2 - 2x + 3$. Вычислим его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

2. Поскольку дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), то выражение $x^2 - 2x + 3$ положительно при всех действительных значениях $x$.

3. Так как знаменатель всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно неравенству $x^2 - 2x - 3 < 0$.

4. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ найдены в пункте а): $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

5. Неравенство можно записать в виде $(x-3)(x+1) < 0$. Графиком функции $y=(x-3)(x+1)$ является парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1; 3)$.

в) Решим неравенство $\frac{3 - x - 2x^2}{x^2 - 36} > 0$.

1. Чтобы сделать старший коэффициент в числителе положительным, умножим числитель на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $\frac{-( -3 + x + 2x^2)}{x^2 - 36} > 0 \implies \frac{2x^2 + x - 3}{x^2 - 36} < 0$.

2. Найдём корни числителя: $2x^2 + x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(2)(-3) = 1+24=25$. Корни $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4}$, то есть $x_1 = \frac{4}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{-6}{4} = -1.5$.

3. Найдём корни знаменателя: $x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 36$, откуда $x_3 = 6$ и $x_4 = -6$.

4. Перепишем неравенство в виде $\frac{2(x-1)(x+1.5)}{(x-6)(x+6)} < 0$. Решим его методом интервалов. Нанесём на числовую прямую выколотые точки -6, -1.5, 1, 6.

5. Определим знаки на полученных интервалах. Так как все множители имеют первую степень, знаки будут чередоваться. Для крайнего правого интервала $(6; +\infty)$ (например, при $x=10$) все множители положительны, значит, итоговый знак "+". Двигаясь влево по оси, знаки чередуются: "+", "-", "+", "-", "+".

6. Выбираем интервалы со знаком "-", так как решаем неравенство со знаком "<". Это интервалы $(-6; -1.5)$ и $(1; 6)$.

Ответ: $x \in (-6; -1.5) \cup (1; 6)$.

г) Решим неравенство $\frac{1.8}{x^3 - x^2 + x - 1} < 0$.

1. Числитель $1.8$ — это положительная константа. Чтобы вся дробь была отрицательной, её знаменатель должен быть отрицательным.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $x^3 - x^2 + x - 1 < 0$.

3. Разложим многочлен в левой части на множители методом группировки:
$x^2(x - 1) + 1(x - 1) < 0$
$(x - 1)(x^2 + 1) < 0$

4. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$.

5. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное выражение $(x^2 + 1)$, при этом знак неравенства не изменится: $x - 1 < 0$.

6. Решая это простое линейное неравенство, получаем $x < 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.