Номер 1109, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1109. Из «Курса чистой математики» Е.Д. Войтяховского. Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к. и т. д. Всего воин получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

В задаче описана последовательность вознаграждений за раны. За первую рану дано 1 к., за вторую — 2 к., за третью — 4 к. и так далее. Эта последовательность является геометрической прогрессией.

Обозначим члены этой прогрессии как $b_n$, где $n$ — номер раны.

• Вознаграждение за первую рану: $b_1 = 1$ копейка.
• Вознаграждение за вторую рану: $b_2 = 2$ копейки.
• Вознаграждение за третью рану: $b_3 = 4$ копейки.

Знаменатель этой геометрической прогрессии $q$ равен: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{1} = 2$

Общая сумма вознаграждения, которую получил воин, составляет 655 рублей 35 копеек. Для удобства расчетов переведем эту сумму полностью в копейки, учитывая, что в одном рубле 100 копеек: $S_{total} = 655 \times 100 + 35 = 65500 + 35 = 65535$ копеек.

Эта общая сумма представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии, где $n$ — искомое число ран. Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Подставим в формулу известные нам значения: $S_n = 65535$, $b_1 = 1$, $q = 2$. $65535 = 1 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1}$

Упростим полученное уравнение: $65535 = \frac{2^n - 1}{1}$ $65535 = 2^n - 1$

Теперь выразим $2^n$ и найдем $n$: $2^n = 65535 + 1$ $2^n = 65536$

Чтобы найти $n$, нужно определить, в какую степень следует возвести число 2, чтобы получить 65536. Мы знаем, что $2^{10} = 1024$. Также $65536 = 64 \times 1024 = 2^6 \times 2^{10} = 2^{16}$. Следовательно, $n = 16$.

Ответ: 16.