Номер 1108, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1108. Укажите наименьший член последовательности ${x_n}$, заданной формулой общего члена:

а) ${x_n = n^2 - 6n + 5;}$

б) ${x_n = n^2 - 18n + 1;}$

в) ${x_n = 3n^2 - 16n - 1;}$

г) ${x_n = 7n^2 - 50n.}$

а) $x_n = n^2 - 6n + 5$

Чтобы найти наименьший член последовательности, заданной квадратичной функцией, мы можем рассмотреть соответствующую параболу $y = f(n) = n^2 - 6n + 5$. Так как коэффициент при $n^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет точку минимума. Абсцисса вершины параболы, в которой достигается минимум, вычисляется по формуле $n_0 = -b / (2a)$.

В нашем случае, $a = 1$ и $b = -6$.

$n_0 = -(-6) / (2 \cdot 1) = 6 / 2 = 3$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, а полученное значение $n_0 = 3$ является натуральным, то наименьший член последовательности будет именно $x_3$.

Вычислим его значение:

$x_3 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

Ответ: -4.

б) $x_n = n^2 - 18n + 1$

Рассмотрим параболу $y = f(n) = n^2 - 18n + 1$. Коэффициент при $n^2$ равен 1, ветви параболы направлены вверх. Найдем абсциссу вершины:

$n_0 = -b / (2a) = -(-18) / (2 \cdot 1) = 18 / 2 = 9$.

Поскольку $n_0 = 9$ является натуральным числом, наименьший член последовательности будет $x_9$.

Вычислим его значение:

$x_9 = 9^2 - 18 \cdot 9 + 1 = 81 - 162 + 1 = -80$.

Ответ: -80.

в) $x_n = 3n^2 - 16n - 1$

Рассмотрим параболу $y = f(n) = 3n^2 - 16n - 1$. Коэффициент при $n^2$ равен 3, ветви параболы направлены вверх. Найдем абсциссу вершины:

$n_0 = -b / (2a) = -(-16) / (2 \cdot 3) = 16 / 6 = 8 / 3 \approx 2.67$.

Поскольку $n_0 \approx 2.67$ не является натуральным числом, наименьшее значение последовательности будет достигаться при одном из двух ближайших к $n_0$ натуральных чисел. Это $n=2$ и $n=3$.

Сравним значения $x_2$ и $x_3$:

$x_2 = 3 \cdot 2^2 - 16 \cdot 2 - 1 = 3 \cdot 4 - 32 - 1 = 12 - 32 - 1 = -21$.

$x_3 = 3 \cdot 3^2 - 16 \cdot 3 - 1 = 3 \cdot 9 - 48 - 1 = 27 - 48 - 1 = -22$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-22 < -21$. Следовательно, наименьший член последовательности равен -22.

Ответ: -22.

г) $x_n = 7n^2 - 50n$

Рассмотрим параболу $y = f(n) = 7n^2 - 50n$. Коэффициент при $n^2$ равен 7, ветви параболы направлены вверх. Найдем абсциссу вершины:

$n_0 = -b / (2a) = -(-50) / (2 \cdot 7) = 50 / 14 = 25 / 7 \approx 3.57$.

Поскольку $n_0 \approx 3.57$ не является натуральным числом, наименьшее значение последовательности будет достигаться при одном из двух ближайших к $n_0$ натуральных чисел. Это $n=3$ и $n=4$.

Сравним значения $x_3$ и $x_4$:

$x_3 = 7 \cdot 3^2 - 50 \cdot 3 = 7 \cdot 9 - 150 = 63 - 150 = -87$.

$x_4 = 7 \cdot 4^2 - 50 \cdot 4 = 7 \cdot 16 - 200 = 112 - 200 = -88$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-88 < -87$. Следовательно, наименьший член последовательности равен -88.

Ответ: -88.