Номер 1114, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1114. a) Между числами 7 и 35 на координатной прямой найдите шесть точек, координаты которых вместе с числами 7 и 35 являются последовательными членами арифметической прогрессии.

б) Между числами 1 и 6 найдите пять чисел, которые вместе с заданными числами являются последовательными членами арифметической прогрессии.

а)

Пусть искомые числа вместе с числами 7 и 35 образуют арифметическую прогрессию $(a_n)$. В этой прогрессии первый член $a_1 = 7$. Между 7 и 35 нужно найти шесть чисел, значит всего в прогрессии будет $6 + 2 = 8$ членов. Последний член прогрессии, таким образом, $a_8 = 35$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения для $n=8$:
$a_8 = a_1 + (8-1)d$
$35 = 7 + 7d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:
$7d = 35 - 7$
$7d = 28$
$d = \frac{28}{7} = 4$

Зная разность прогрессии $d=4$, мы можем найти шесть искомых точек. Это будут члены прогрессии со второго по седьмой:
$a_2 = a_1 + d = 7 + 4 = 11$
$a_3 = a_2 + d = 11 + 4 = 15$
$a_4 = a_3 + d = 15 + 4 = 19$
$a_5 = a_4 + d = 19 + 4 = 23$
$a_6 = a_5 + d = 23 + 4 = 27$
$a_7 = a_6 + d = 27 + 4 = 31$

Проверка: $a_8 = a_7 + d = 31 + 4 = 35$. Все верно.
Искомые шесть точек имеют координаты: 11, 15, 19, 23, 27, 31.

Ответ: 11, 15, 19, 23, 27, 31.

б)

Рассуждаем аналогично. Пусть искомые числа вместе с числами 1 и 6 образуют арифметическую прогрессию $(a_n)$. Первый член $a_1 = 1$. Между 1 и 6 нужно найти пять чисел, значит всего в прогрессии будет $5 + 2 = 7$ членов. Последний член, соответственно, $a_7 = 6$.

Используем ту же формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ для $n=7$:
$a_7 = a_1 + (7-1)d$
$6 = 1 + 6d$

Решим уравнение относительно $d$:
$6d = 6 - 1$
$6d = 5$
$d = \frac{5}{6}$

Теперь найдем пять искомых чисел, которые являются членами прогрессии со второго по шестой:
$a_2 = a_1 + d = 1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$
$a_3 = a_2 + d = \frac{11}{6} + \frac{5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$
$a_4 = a_3 + d = \frac{16}{6} + \frac{5}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$
$a_5 = a_4 + d = \frac{21}{6} + \frac{5}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$
$a_6 = a_5 + d = \frac{26}{6} + \frac{5}{6} = \frac{31}{6}$

Проверка: $a_7 = a_6 + d = \frac{31}{6} + \frac{5}{6} = \frac{36}{6} = 6$. Все верно.
Искомые пять чисел: $\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{7}{2}, \frac{13}{3}, \frac{31}{6}$.

Ответ: $\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{7}{2}, \frac{13}{3}, \frac{31}{6}$.