Номер 1117, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1117. Найдите разность арифметической прогрессии, четвёртый член которой равен 1,25, а девятый равен $ \frac{5}{6} $.

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия, а $d$ — её разность, которую нам необходимо найти.

По условию задачи известны четвёртый и девятый члены этой прогрессии:
$a_4 = 1,25$
$a_9 = -\frac{5}{6}$

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
где $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер члена, $d$ — разность прогрессии.

Используя эту формулу, мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a_1$ и $d$):
Для четвёртого члена ($n=4$): $a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$.
Для девятого члена ($n=9$): $a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$.

Подставим известные значения $a_4$ и $a_9$:
$a_1 + 3d = 1,25$
$a_1 + 8d = -\frac{5}{6}$

Для решения этой системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $a_1$ и найти $d$:
$(a_1 + 8d) - (a_1 + 3d) = -\frac{5}{6} - 1,25$
$a_1 + 8d - a_1 - 3d = -\frac{5}{6} - 1,25$
$5d = -\frac{5}{6} - 1,25$

Чтобы произвести вычисления, преобразуем десятичную дробь $1,25$ в обыкновенную:
$1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:
$5d = -\frac{5}{6} - \frac{5}{4}$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 равен 12:
$5d = -\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3}$
$5d = -\frac{10}{12} - \frac{15}{12}$
$5d = \frac{-10 - 15}{12}$
$5d = -\frac{25}{12}$

Наконец, найдём $d$, разделив обе части уравнения на 5:
$d = -\frac{25}{12} \div 5 = -\frac{25}{12 \cdot 5}$
Сократим дробь на 5:
$d = -\frac{5}{12}$

Ответ: $-\frac{5}{12}$