Страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1111. Вычислите:

а) $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 17 + 18 + 19;$

б) $30 + 31 + 32 + \dots + 47 + 48 + 49 + 50.$

а) Данная сумма $1 + 2 + 3 + \dots + 19$ является суммой членов арифметической прогрессии. Для вычисления такой суммы можно воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, где $a_1$ — это первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов в последовательности.

В этом выражении:
• Первый член $a_1 = 1$.
• Последний член $a_n = 19$.
• Количество членов $n$ равно 19.

Подставим эти значения в формулу:
$S_{19} = \frac{(1 + 19) \cdot 19}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 10 \cdot 19 = 190$.

Ответ: 190

б) Сумма $30 + 31 + 32 + \dots + 50$ также является суммой членов арифметической прогрессии с разностью, равной 1. Мы можем использовать ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

Сначала определим все параметры:
• Первый член $a_1 = 30$.
• Последний член $a_n = 50$.
• Чтобы найти количество членов $n$, нужно из последнего числа вычесть первое и прибавить единицу: $n = 50 - 30 + 1 = 21$.

Теперь вычислим сумму, подставив значения в формулу:
$S_{21} = \frac{(30 + 50) \cdot 21}{2} = \frac{80 \cdot 21}{2} = 40 \cdot 21 = 840$.

Ответ: 840

1112. Для любого натурального $n$ вычислите сумму

$3 + 8 + 13 + \dots + (5n - 2)$.

Данная сумма $3 + 8 + 13 + \dots + (5n - 2)$ представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.

Определим параметры этой прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 3$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$, вычитая первый член из второго:

$d = 8 - 3 = 5$.

Проверим, соответствует ли общий член прогрессии $a_k$ формуле $a_k = a_1 + (k-1)d$:

$a_k = 3 + (k-1) \cdot 5 = 3 + 5k - 5 = 5k - 2$.

Последний член в сумме задан как $(5n - 2)$. Это соответствует формуле общего члена при $k=n$, то есть $a_n = 5n - 2$. Следовательно, в сумме ровно $n$ членов.

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ воспользуемся формулой:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу значения первого члена $a_1 = 3$ и $n$-го члена $a_n = 5n - 2$:

$S_n = \frac{3 + (5n - 2)}{2} \cdot n$

Теперь упростим полученное выражение:

$S_n = \frac{5n + 1}{2} \cdot n = \frac{n(5n + 1)}{2}$

Ответ: $\frac{n(5n + 1)}{2}$

1113. a) Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что пятый её член равен 19, а девятый член равен 35.

б) Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что четвёртый её член равен –13, а десятый член равен –43.

в) Разность арифметической прогрессии равна 9,5, а двенадцатый член равен 105,25. Найдите первый член прогрессии.

г) Числа $\frac{1}{2}$ и $-1\frac{7}{8}$ — первый и двадцатый члены арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии.

а) Для нахождения разности арифметической прогрессии ($d$) воспользуемся формулой, связывающей два любых ее члена: $a_m = a_n + (m-n)d$.
По условию, пятый член $a_5 = 19$, а девятый член $a_9 = 35$.
Подставим эти значения в формулу, где $m=9$ и $n=5$:
$a_9 = a_5 + (9-5)d$
$35 = 19 + 4d$
Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:
$4d = 35 - 19$
$4d = 16$
$d = \frac{16}{4}$
$d = 4$
Ответ: 4

б) Аналогично пункту а), используем формулу $a_m = a_n + (m-n)d$.
По условию, четвертый член $a_4 = -13$, а десятый член $a_{10} = -43$.
Подставим эти значения в формулу, где $m=10$ и $n=4$:
$a_{10} = a_4 + (10-4)d$
$-43 = -13 + 6d$
Решим уравнение относительно $d$:
$6d = -43 - (-13)$
$6d = -43 + 13$
$6d = -30$
$d = \frac{-30}{6}$
$d = -5$
Ответ: -5

в) Для нахождения первого члена прогрессии ($a_1$) используем формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию, разность $d = 9,5$, а двенадцатый член $a_{12} = 105,25$.
Подставим известные значения в формулу для $n=12$:
$a_{12} = a_1 + (12-1)d$
$105,25 = a_1 + 11 \times 9,5$
Вычислим произведение:
$11 \times 9,5 = 104,5$
Подставим результат обратно в уравнение:
$105,25 = a_1 + 104,5$
Теперь найдем $a_1$:
$a_1 = 105,25 - 104,5$
$a_1 = 0,75$
Ответ: 0,75

г) Снова используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию, первый член $a_1 = \frac{1}{2}$ и двадцатый член $a_{20} = -1\frac{7}{8}$.
Переведем смешанную дробь в неправильную:
$a_{20} = -1\frac{7}{8} = -\frac{1 \times 8 + 7}{8} = -\frac{15}{8}$
Подставим значения $a_1$ и $a_{20}$ в формулу для $n=20$:
$a_{20} = a_1 + (20-1)d$
$-\frac{15}{8} = \frac{1}{2} + 19d$
Решим уравнение относительно $d$:
$19d = -\frac{15}{8} - \frac{1}{2}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 8:
$19d = -\frac{15}{8} - \frac{4}{8}$
$19d = -\frac{19}{8}$
$d = \frac{-19/8}{19}$
$d = -\frac{1}{8}$
Ответ: $-\frac{1}{8}$

1114. a) Между числами 7 и 35 на координатной прямой найдите шесть точек, координаты которых вместе с числами 7 и 35 являются последовательными членами арифметической прогрессии.

б) Между числами 1 и 6 найдите пять чисел, которые вместе с заданными числами являются последовательными членами арифметической прогрессии.

а)

Пусть искомые числа вместе с числами 7 и 35 образуют арифметическую прогрессию $(a_n)$. В этой прогрессии первый член $a_1 = 7$. Между 7 и 35 нужно найти шесть чисел, значит всего в прогрессии будет $6 + 2 = 8$ членов. Последний член прогрессии, таким образом, $a_8 = 35$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения для $n=8$:
$a_8 = a_1 + (8-1)d$
$35 = 7 + 7d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:
$7d = 35 - 7$
$7d = 28$
$d = \frac{28}{7} = 4$

Зная разность прогрессии $d=4$, мы можем найти шесть искомых точек. Это будут члены прогрессии со второго по седьмой:
$a_2 = a_1 + d = 7 + 4 = 11$
$a_3 = a_2 + d = 11 + 4 = 15$
$a_4 = a_3 + d = 15 + 4 = 19$
$a_5 = a_4 + d = 19 + 4 = 23$
$a_6 = a_5 + d = 23 + 4 = 27$
$a_7 = a_6 + d = 27 + 4 = 31$

Проверка: $a_8 = a_7 + d = 31 + 4 = 35$. Все верно.
Искомые шесть точек имеют координаты: 11, 15, 19, 23, 27, 31.

Ответ: 11, 15, 19, 23, 27, 31.

б)

Рассуждаем аналогично. Пусть искомые числа вместе с числами 1 и 6 образуют арифметическую прогрессию $(a_n)$. Первый член $a_1 = 1$. Между 1 и 6 нужно найти пять чисел, значит всего в прогрессии будет $5 + 2 = 7$ членов. Последний член, соответственно, $a_7 = 6$.

Используем ту же формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ для $n=7$:
$a_7 = a_1 + (7-1)d$
$6 = 1 + 6d$

Решим уравнение относительно $d$:
$6d = 6 - 1$
$6d = 5$
$d = \frac{5}{6}$

Теперь найдем пять искомых чисел, которые являются членами прогрессии со второго по шестой:
$a_2 = a_1 + d = 1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$
$a_3 = a_2 + d = \frac{11}{6} + \frac{5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$
$a_4 = a_3 + d = \frac{16}{6} + \frac{5}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$
$a_5 = a_4 + d = \frac{21}{6} + \frac{5}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$
$a_6 = a_5 + d = \frac{26}{6} + \frac{5}{6} = \frac{31}{6}$

Проверка: $a_7 = a_6 + d = \frac{31}{6} + \frac{5}{6} = \frac{36}{6} = 6$. Все верно.
Искомые пять чисел: $\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{7}{2}, \frac{13}{3}, \frac{31}{6}$.

Ответ: $\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{7}{2}, \frac{13}{3}, \frac{31}{6}$.

1115. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, второй член которой равен $a_2 = 0.5$, а четырнадцатый равен $a_{14} = -33.5$.

Для нахождения суммы первых пятнадцати членов арифметической прогрессии ($S_{15}$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — n-ый член, а $n$ — количество членов.

Для нашей задачи при $n = 15$ формула будет выглядеть так: $S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15$

В арифметической прогрессии сумма членов, равноудаленных от концов, постоянна. Это означает, что $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2}$ и так далее.

Применим это свойство к нашей прогрессии, где $n=15$: $a_1 + a_{15} = a_2 + a_{14}$

Согласно условию задачи, второй член прогрессии $a_2 = 0,5$, а четырнадцатый член $a_{14} = -33,5$. Найдем их сумму: $a_2 + a_{14} = 0,5 + (-33,5) = -33$

Таким образом, мы выяснили, что $a_1 + a_{15} = -33$.

Теперь подставим найденное значение в формулу для суммы $S_{15}$: $S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15 = \frac{-33}{2} \cdot 15$

Выполним вычисление: $S_{15} = -16,5 \cdot 15 = -247,5$

Ответ: -247,5.

1116. Найдите сумму первых пятидесяти пяти членов арифметической прогрессии, последний член которой равен 5,8, а сумма двух последних равна 11,5.

Пусть данная арифметическая прогрессия обозначается как $a_n$, где $n$ - номер члена прогрессии. По условию задачи, мы ищем сумму первых пятидесяти пяти членов, следовательно, общее количество членов в прогрессии $n = 55$.

Нам известно, что последний, то есть 55-й член прогрессии, равен 5,8. Запишем это в виде формулы: $a_{55} = 5,8$.

Также нам дана сумма двух последних членов, то есть 54-го и 55-го: $a_{54} + a_{55} = 11,5$.

Используя эти два условия, мы можем найти предпоследний (54-й) член прогрессии. Подставим известное значение $a_{55}$ в сумму: $a_{54} + 5,8 = 11,5$ $a_{54} = 11,5 - 5,8$ $a_{54} = 5,7$.

Теперь, зная два последовательных члена прогрессии, мы можем найти ее разность $d$: $d = a_{55} - a_{54}$ $d = 5,8 - 5,7 = 0,1$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Для вычисления суммы нам необходимо найти первый член прогрессии $a_1$.

Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим $a_1$ через $a_{55}$: $a_{55} = a_1 + (55-1)d$ $5,8 = a_1 + 54 \cdot 0,1$ $5,8 = a_1 + 5,4$ $a_1 = 5,8 - 5,4$ $a_1 = 0,4$.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления суммы первых 55 членов прогрессии:

• Первый член $a_1 = 0,4$
• Последний член $a_{55} = 5,8$
• Количество членов $n = 55$

Подставляем эти значения в формулу суммы: $S_{55} = \frac{a_1 + a_{55}}{2} \cdot 55$ $S_{55} = \frac{0,4 + 5,8}{2} \cdot 55$ $S_{55} = \frac{6,2}{2} \cdot 55$ $S_{55} = 3,1 \cdot 55$ $S_{55} = 170,5$.

Ответ: 170,5.

1117. Найдите разность арифметической прогрессии, четвёртый член которой равен 1,25, а девятый равен $ \frac{5}{6} $.

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия, а $d$ — её разность, которую нам необходимо найти.

По условию задачи известны четвёртый и девятый члены этой прогрессии:
$a_4 = 1,25$
$a_9 = -\frac{5}{6}$

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
где $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер члена, $d$ — разность прогрессии.

Используя эту формулу, мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a_1$ и $d$):
Для четвёртого члена ($n=4$): $a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$.
Для девятого члена ($n=9$): $a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$.

Подставим известные значения $a_4$ и $a_9$:
$a_1 + 3d = 1,25$
$a_1 + 8d = -\frac{5}{6}$

Для решения этой системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $a_1$ и найти $d$:
$(a_1 + 8d) - (a_1 + 3d) = -\frac{5}{6} - 1,25$
$a_1 + 8d - a_1 - 3d = -\frac{5}{6} - 1,25$
$5d = -\frac{5}{6} - 1,25$

Чтобы произвести вычисления, преобразуем десятичную дробь $1,25$ в обыкновенную:
$1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:
$5d = -\frac{5}{6} - \frac{5}{4}$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 равен 12:
$5d = -\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3}$
$5d = -\frac{10}{12} - \frac{15}{12}$
$5d = \frac{-10 - 15}{12}$
$5d = -\frac{25}{12}$

Наконец, найдём $d$, разделив обе части уравнения на 5:
$d = -\frac{25}{12} \div 5 = -\frac{25}{12 \cdot 5}$
Сократим дробь на 5:
$d = -\frac{5}{12}$

Ответ: $-\frac{5}{12}$

1118. Сумма членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из тридцати членов, равна 3645. Первый член этой прогрессии равен 20. Найдите второй член прогрессии.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
где $S_n$ — сумма $n$ первых членов прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Количество членов прогрессии $n = 30$.
Сумма членов прогрессии $S_{30} = 3645$.
Первый член прогрессии $a_1 = 20$.

Требуется найти второй член прогрессии, $a_2$. Второй член арифметической прогрессии вычисляется по формуле $a_2 = a_1 + d$. Следовательно, сначала нам необходимо найти разность прогрессии $d$.

Подставим известные значения в формулу суммы и решим получившееся уравнение относительно $d$:
$3645 = \frac{2 \cdot 20 + d(30-1)}{2} \cdot 30$

Упростим выражение:
$3645 = (40 + 29d) \cdot \frac{30}{2}$
$3645 = (40 + 29d) \cdot 15$

Теперь разделим обе части уравнения на 15:
$\frac{3645}{15} = 40 + 29d$
$243 = 40 + 29d$

Перенесем 40 в левую часть уравнения, чтобы выделить слагаемое с $d$:
$243 - 40 = 29d$
$203 = 29d$

Найдем разность прогрессии $d$:
$d = \frac{203}{29}$
$d = 7$

Теперь, зная разность прогрессии $d=7$ и первый член $a_1=20$, мы можем найти второй член прогрессии $a_2$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_2 = 20 + 7$
$a_2 = 27$

Ответ: 27

1119. Сумма всех членов конечной арифметической прогрессии равна 28, третий член равен 8, а четвёртый равен 5. Найдите число членов прогрессии и её крайние члены.

Пусть дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$. По условию задачи известны:

• Сумма всех членов прогрессии $S_n = 28$.
• Третий член прогрессии $a_3 = 8$.
• Четвёртый член прогрессии $a_4 = 5$.

Требуется найти число членов прогрессии $n$ и её крайние члены (первый $a_1$ и последний $a_n$).

Для начала найдём разность прогрессии $d$. Разность — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. $d = a_4 - a_3 = 5 - 8 = -3$.

Зная разность, мы можем найти первый член прогрессии $a_1$, который является одним из крайних членов. Для этого воспользуемся формулой k-го члена арифметической прогрессии $a_k = a_1 + (k-1)d$ для $k=3$: $a_3 = a_1 + (3-1)d$ $8 = a_1 + 2 \cdot (-3)$ $8 = a_1 - 6$ $a_1 = 14$.

число членов прогрессии

Для нахождения числа членов $n$ используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. Подставим в неё уже известные нам значения $S_n=28$, $a_1=14$ и $d=-3$: $28 = \frac{2 \cdot 14 + (-3)(n-1)}{2} \cdot n$ $56 = (28 - 3n + 3)n$ $56 = 31n - 3n^2$ $3n^2 - 31n + 56 = 0$.
Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 961 - 672 = 289$. Так как $\sqrt{289}=17$, корни уравнения: $n_1 = \frac{31 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{48}{6} = 8$ $n_2 = \frac{31 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Поскольку число членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только корень $n=8$.
Ответ: 8.

и её крайние члены

Крайние члены — это первый ($a_1$) и последний ($a_n$) члены прогрессии. Первый член $a_1$ был найден ранее, он равен 14. Последний член — это $a_n = a_8$, так как мы определили, что число членов прогрессии равно 8. Найдём его по формуле k-го члена: $a_8 = a_1 + (8-1)d = 14 + 7 \cdot (-3) = 14 - 21 = -7$.
Ответ: 14 и -7.