Страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1101. a) $(1+x)^2 < |1-x^2|;$

б) $|1-x^2| < (1-x)^2.$

а) $(1+x)^2 < |1-x^2|$

Запишем исходное неравенство. Левая часть $(1+x)^2$ всегда неотрицательна. Правую часть можно представить с использованием свойства модуля произведения: $|1-x^2| = |(1-x)(1+x)| = |1-x||1+x|$. Также заметим, что для любого действительного числа $a$, $a^2 = |a|^2$. Поэтому $(1+x)^2 = |1+x|^2$.
Неравенство принимает вид:
$|1+x|^2 < |1-x||1+x|$
Перенесем все члены в левую часть:
$|1+x|^2 - |1-x||1+x| < 0$
Вынесем общий множитель $|1+x|$ за скобки:
$|1+x|(|1+x| - |1-x|) < 0$

Рассмотрим два случая.
1. Если $1+x = 0$, то есть $x = -1$. Подставив в исходное неравенство, получаем $(1-1)^2 < |1-(-1)^2|$, что равно $0 < |1-1|$ или $0 < 0$. Это неверно, следовательно, $x = -1$ не является решением.
2. Если $x \neq -1$, то $|1+x| > 0$. Чтобы произведение $|1+x|(|1+x| - |1-x|)$ было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:
$|1+x| - |1-x| < 0$
$|1+x| < |1-x|$

Так как обе части этого неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(1+x)^2 < (1-x)^2$
$1 + 2x + x^2 < 1 - 2x + x^2$
$2x < -2x$
$4x < 0$
$x < 0$

Объединяя полученное решение $x < 0$ с условием $x \neq -1$, мы получаем окончательное множество решений.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$

б) $|1-x^2| < (1-x)^2$

Используем те же преобразования, что и в пункте а): $|1-x^2| = |1-x||1+x|$ и $(1-x)^2 = |1-x|^2$.
Неравенство принимает вид:
$|1-x||1+x| < |1-x|^2$

Рассмотрим два случая.
1. Если $1-x = 0$, то есть $x = 1$. Подставив в исходное неравенство, получаем $|1-1^2| < (1-1)^2$, что равно $0 < 0$. Это неверно, следовательно, $x = 1$ не является решением.
2. Если $x \neq 1$, то $|1-x| > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $|1-x|$:
$|1+x| < |1-x|$

Это неравенство было решено в пункте а). Его решение: $x < 0$.
Полученное множество решений $x < 0$ не содержит точку $x=1$, поэтому условие $x \neq 1$ выполняется автоматически.
Ответ: $x \in (-\infty, 0)$

1102. а) $\frac{5x + 2}{3x^2 + 1} < \frac{x + 6}{3x^2 + 1}$;

б) $\frac{3x - 5}{6x^2 + 7} > \frac{x - 1}{6x^2 + 7}$;

в) $\frac{x^2 + 1}{2x - 3} > \frac{x^2 + 1}{3x - 2}$;

г) $\frac{x^2 + 4}{3x - 5} < \frac{x^2 + 4}{5x - 3}$;

д) $\frac{x^2}{x - 1} \ge \frac{4}{x - 1}$;

е) $\frac{x^2}{x + 2} \le \frac{9}{x + 2}$.

а)

Решим неравенство $ \frac{5x + 2}{3x^2 + 1} < \frac{x + 6}{3x^2 + 1} $.

Знаменатель дробей $3x^2 + 1$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, следовательно, $3x^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку знаменатель положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:

$5x + 2 < x + 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - x < 6 - 2$

$4x < 4$

Разделим обе части на 4:

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{3x - 5}{6x^2 + 7} > \frac{x - 1}{6x^2 + 7} $.

Знаменатель дробей $6x^2 + 7$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, а значит $6x^2 + 7 \ge 7$.

Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $6x^2 + 7$:

$3x - 5 > x - 1$

Сгруппируем переменные и константы:

$3x - x > -1 + 5$

$2x > 4$

Разделим обе части на 2:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

в)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + 1}{2x - 3} > \frac{x^2 + 1}{3x - 2} $.

Числитель дробей $x^2 + 1$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку числитель положителен, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:

$ \frac{1}{2x - 3} > \frac{1}{3x - 2} $

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{1}{2x - 3} - \frac{1}{3x - 2} > 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(3x - 2) - (2x - 3)}{(2x - 3)(3x - 2)} > 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3x - 2 - 2x + 3}{(2x - 3)(3x - 2)} > 0 $

$ \frac{x + 1}{(2x - 3)(3x - 2)} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

$2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале. Точки $x = \frac{3}{2}$ и $x = \frac{2}{3}$ выколотые, так как они обращают знаменатель в ноль.

Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}, +\infty)$.

• При $x > \frac{3}{2}$ (например, $x=2$): $\frac{2+1}{(4-3)(6-2)} = \frac{3}{4} > 0$. Интервал подходит.
• При $\frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ (например, $x=1$): $\frac{1+1}{(2-3)(3-2)} = \frac{2}{-1} < 0$. Интервал не подходит.
• При $-1 < x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{0+1}{(-3)(-2)} = \frac{1}{6} > 0$. Интервал подходит.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-2+1}{(-4-3)(-6-2)} = \frac{-1}{56} < 0$. Интервал не подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in (-1, \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$.

г)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + 4}{3x - 5} < \frac{x^2 + 4}{5x - 3} $.

Числитель $x^2 + 4$ всегда положителен ($x^2 + 4 \ge 4$). Разделим обе части на него:

$ \frac{1}{3x - 5} < \frac{1}{5x - 3} $

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1}{3x - 5} - \frac{1}{5x - 3} < 0 $

$ \frac{(5x - 3) - (3x - 5)}{(3x - 5)(5x - 3)} < 0 $

$ \frac{5x - 3 - 3x + 5}{(3x - 5)(5x - 3)} < 0 $

$ \frac{2x + 2}{(3x - 5)(5x - 3)} < 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

$2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1$

$3x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$

$5x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$

Отметим точки $-1$, $\frac{3}{5}$, $\frac{5}{3}$ на числовой прямой и определим знаки.

• При $x > \frac{5}{3}$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)+2}{(6-5)(10-3)} = \frac{6}{7} > 0$.
• При $\frac{3}{5} < x < \frac{5}{3}$ (например, $x=1$): $\frac{2(1)+2}{(3-5)(5-3)} = \frac{4}{(-2)(2)} < 0$. Интервал подходит.
• При $-1 < x < \frac{3}{5}$ (например, $x=0$): $\frac{2}{( -5)( -3)} = \frac{2}{15} > 0$.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{2(-2)+2}{(-6-5)(-10-3)} = \frac{-2}{(-11)(-13)} < 0$. Интервал подходит.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{3}{5}, \frac{5}{3})$.

д)

Решим неравенство $ \frac{x^2}{x - 1} \ge \frac{4}{x - 1} $.

Область допустимых значений: $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{x^2}{x - 1} - \frac{4}{x - 1} \ge 0 $

$ \frac{x^2 - 4}{x - 1} \ge 0 $

Разложим числитель на множители:

$ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 1} \ge 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x = 2$, $x = -2$. Нуль знаменателя: $x = 1$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки $x=2$ и $x=-2$ включаем (закрашенные), так как неравенство нестрогое. Точку $x=1$ исключаем (выколотая).

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.
• При $-2 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Учитывая, что точки $x=-2$ и $x=2$ являются решениями, получаем объединение интервалов.

Ответ: $x \in [-2, 1) \cup [2, +\infty)$.

е)

Решим неравенство $ \frac{x^2}{x + 2} \le \frac{9}{x + 2} $.

Область допустимых значений: $x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{x^2}{x + 2} - \frac{9}{x + 2} \le 0 $

$ \frac{x^2 - 9}{x + 2} \le 0 $

Разложим числитель на множители:

$ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 2} \le 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x = 3$, $x = -3$. Нуль знаменателя: $x = -2$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки $x=3$ и $x=-3$ включаем, точку $x=-2$ исключаем.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• При $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Интервал подходит.
• При $-3 < x < -2$ (например, $x=-2.5$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Интервал подходит.

Учитывая, что точки $x=-3$ и $x=3$ являются решениями, получаем объединение интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup (-2, 3]$.

1103. а) $\frac{4}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} > 12;$

б) $\frac{3}{3-x} + \frac{1}{(3-x)^2} > 18;$

в) $\frac{4}{4-x} + \frac{1}{(4-x)^2} \le 5;$

г) $\frac{3}{3-x} + \frac{1}{(3-x)^2} \le 10.$

a) Решим неравенство $ \frac{4}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} > 12 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $ 1-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $.

Для упрощения неравенства введем замену переменной. Пусть $ t = \frac{1}{1-x} $. Неравенство примет вид:

$ 4t + t^2 > 12 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ t^2 + 4t - 12 > 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 + 4t - 12 = 0 $. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $ t_1 = -6 $ и $ t_2 = 2 $.

Парабола $ y = t^2 + 4t - 12 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ t^2 + 4t - 12 > 0 $ выполняется, когда $ t < -6 $ или $ t > 2 $.

Теперь выполним обратную замену. Мы получили совокупность двух неравенств:

$ \left[ \begin{gathered} \frac{1}{1-x} < -6 \\ \frac{1}{1-x} > 2 \end{gathered} \right. $

1. Решим первое неравенство $ \frac{1}{1-x} < -6 $:

$ \frac{1}{1-x} + 6 < 0 \implies \frac{1 + 6(1-x)}{1-x} < 0 \implies \frac{7 - 6x}{1-x} < 0 $

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что решение: $ x \in (1, \frac{7}{6}) $.

2. Решим второе неравенство $ \frac{1}{1-x} > 2 $:

$ \frac{1}{1-x} - 2 > 0 \implies \frac{1 - 2(1-x)}{1-x} > 0 \implies \frac{2x - 1}{1-x} > 0 $

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что решение: $ x \in (\frac{1}{2}, 1) $.

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ, который удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 1 $).

Ответ: $ x \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \frac{7}{6}) $.

б) Решим неравенство $ \frac{3}{3-x} + \frac{1}{(3-x)^2} > 18 $.

ОДЗ: $ 3-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $.

Пусть $ t = \frac{1}{3-x} $. Неравенство принимает вид:

$ 3t + t^2 > 18 $

$ t^2 + 3t - 18 > 0 $

Найдем корни уравнения $ t^2 + 3t - 18 = 0 $. Корни: $ t_1 = -6 $ и $ t_2 = 3 $.

Неравенство $ t^2 + 3t - 18 > 0 $ выполняется при $ t < -6 $ или $ t > 3 $.

Выполняем обратную замену:

$ \left[ \begin{gathered} \frac{1}{3-x} < -6 \\ \frac{1}{3-x} > 3 \end{gathered} \right. $

1. $ \frac{1}{3-x} < -6 \implies \frac{1 + 6(3-x)}{3-x} < 0 \implies \frac{19 - 6x}{3-x} < 0 $. Решение: $ x \in (3, \frac{19}{6}) $.

2. $ \frac{1}{3-x} > 3 \implies \frac{1 - 3(3-x)}{3-x} > 0 \implies \frac{3x - 8}{3-x} > 0 $. Решение: $ x \in (\frac{8}{3}, 3) $.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x \in (\frac{8}{3}, 3) \cup (3, \frac{19}{6}) $.

в) Решим неравенство $ \frac{4}{4-x} + \frac{1}{(4-x)^2} \le 5 $.

ОДЗ: $ 4-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 4 $.

Пусть $ t = \frac{1}{4-x} $. Неравенство принимает вид:

$ 4t + t^2 \le 5 $

$ t^2 + 4t - 5 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ t^2 + 4t - 5 = 0 $. Корни: $ t_1 = -5 $ и $ t_2 = 1 $.

Парабола $ y = t^2 + 4t - 5 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ t^2 + 4t - 5 \le 0 $ выполняется при $ -5 \le t \le 1 $.

Выполняем обратную замену, что эквивалентно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} \frac{1}{4-x} \ge -5 \\ \frac{1}{4-x} \le 1 \end{cases} $

1. $ \frac{1}{4-x} \ge -5 \implies \frac{1 + 5(4-x)}{4-x} \ge 0 \implies \frac{21 - 5x}{4-x} \ge 0 $. Решение: $ x \in (-\infty, 4) \cup [\frac{21}{5}, \infty) $.

2. $ \frac{1}{4-x} \le 1 \implies \frac{1 - (4-x)}{4-x} \le 0 \implies \frac{x - 3}{4-x} \le 0 $. Решение: $ x \in (-\infty, 3] \cup (4, \infty) $.

Находим пересечение решений этих двух неравенств.

Ответ: $ x \in (-\infty, 3] \cup [\frac{21}{5}, \infty) $.

г) Решим неравенство $ \frac{3}{3-x} + \frac{1}{(3-x)^2} \le 10 $.

ОДЗ: $ 3-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $.

Пусть $ t = \frac{1}{3-x} $. Неравенство принимает вид:

$ 3t + t^2 \le 10 $

$ t^2 + 3t - 10 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ t^2 + 3t - 10 = 0 $. Корни: $ t_1 = -5 $ и $ t_2 = 2 $.

Неравенство $ t^2 + 3t - 10 \le 0 $ выполняется при $ -5 \le t \le 2 $.

Выполняем обратную замену:

$ \begin{cases} \frac{1}{3-x} \ge -5 \\ \frac{1}{3-x} \le 2 \end{cases} $

1. $ \frac{1}{3-x} \ge -5 \implies \frac{1 + 5(3-x)}{3-x} \ge 0 \implies \frac{16 - 5x}{3-x} \ge 0 $. Решение: $ x \in (-\infty, 3) \cup [\frac{16}{5}, \infty) $.

2. $ \frac{1}{3-x} \le 2 \implies \frac{1 - 2(3-x)}{3-x} \le 0 \implies \frac{2x - 5}{3-x} \le 0 $. Решение: $ x \in (-\infty, \frac{5}{2}] \cup (3, \infty) $.

Находим пересечение решений этих двух неравенств.

Ответ: $ x \in (-\infty, \frac{5}{2}] \cup [\frac{16}{5}, \infty) $.

1104. а) $ \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 5} > 0; $

б) $ \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 2x + 3} < 0; $

в) $ \frac{3 - x - 2x^2}{x^2 - 36} > 0; $

г) $ \frac{1,8}{x^3 - x^2 + x - 1} < 0. $

а) Для решения неравенства $\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 5} > 0$ применим метод интервалов.

1. Найдём корни числителя: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

2. Найдём корень знаменателя: $x + 5 = 0$, откуда $x = -5$.

3. Нанесём точки -5, -1, 3 на числовую прямую. Они разбивают прямую на четыре интервала. Точки являются выколотыми, так как неравенство строгое.

4. Определим знак выражения на каждом интервале, подставляя в исходное выражение пробные точки:
- Интервал $(3; +\infty)$: возьмём $x=4$. $\frac{4^2 - 2(4) - 3}{4 + 5} = \frac{16 - 8 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(-1; 3)$: возьмём $x=0$. $\frac{0^2 - 2(0) - 3}{0 + 5} = \frac{-3}{5} < 0$. Знак "-".
- Интервал $(-5; -1)$: возьмём $x=-2$. $\frac{(-2)^2 - 2(-2) - 3}{-2 + 5} = \frac{4 + 4 - 3}{3} = \frac{5}{3} > 0$. Знак "+".
- Интервал $(-\infty; -5)$: возьмём $x=-6$. $\frac{(-6)^2 - 2(-6) - 3}{-6 + 5} = \frac{36 + 12 - 3}{-1} = -45 < 0$. Знак "-".

5. Выбираем интервалы со знаком "+", так как по условию выражение должно быть больше нуля.

Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (3; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 2x + 3} < 0$.

1. Рассмотрим знаменатель $x^2 - 2x + 3$. Вычислим его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

2. Поскольку дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), то выражение $x^2 - 2x + 3$ положительно при всех действительных значениях $x$.

3. Так как знаменатель всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно неравенству $x^2 - 2x - 3 < 0$.

4. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ найдены в пункте а): $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

5. Неравенство можно записать в виде $(x-3)(x+1) < 0$. Графиком функции $y=(x-3)(x+1)$ является парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1; 3)$.

в) Решим неравенство $\frac{3 - x - 2x^2}{x^2 - 36} > 0$.

1. Чтобы сделать старший коэффициент в числителе положительным, умножим числитель на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $\frac{-( -3 + x + 2x^2)}{x^2 - 36} > 0 \implies \frac{2x^2 + x - 3}{x^2 - 36} < 0$.

2. Найдём корни числителя: $2x^2 + x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(2)(-3) = 1+24=25$. Корни $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4}$, то есть $x_1 = \frac{4}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{-6}{4} = -1.5$.

3. Найдём корни знаменателя: $x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 36$, откуда $x_3 = 6$ и $x_4 = -6$.

4. Перепишем неравенство в виде $\frac{2(x-1)(x+1.5)}{(x-6)(x+6)} < 0$. Решим его методом интервалов. Нанесём на числовую прямую выколотые точки -6, -1.5, 1, 6.

5. Определим знаки на полученных интервалах. Так как все множители имеют первую степень, знаки будут чередоваться. Для крайнего правого интервала $(6; +\infty)$ (например, при $x=10$) все множители положительны, значит, итоговый знак "+". Двигаясь влево по оси, знаки чередуются: "+", "-", "+", "-", "+".

6. Выбираем интервалы со знаком "-", так как решаем неравенство со знаком "<". Это интервалы $(-6; -1.5)$ и $(1; 6)$.

Ответ: $x \in (-6; -1.5) \cup (1; 6)$.

г) Решим неравенство $\frac{1.8}{x^3 - x^2 + x - 1} < 0$.

1. Числитель $1.8$ — это положительная константа. Чтобы вся дробь была отрицательной, её знаменатель должен быть отрицательным.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $x^3 - x^2 + x - 1 < 0$.

3. Разложим многочлен в левой части на множители методом группировки:
$x^2(x - 1) + 1(x - 1) < 0$
$(x - 1)(x^2 + 1) < 0$

4. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$.

5. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное выражение $(x^2 + 1)$, при этом знак неравенства не изменится: $x - 1 < 0$.

6. Решая это простое линейное неравенство, получаем $x < 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

1105. a) $\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x+1} < \frac{8}{x^2-1}$;

б) $\frac{4}{x+1} - \frac{x}{x-1} > \frac{3}{x^2-1}$.

а)

Для решения неравенства $\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x+1} < \frac{8}{x^2-1}$ перенесем все его члены в левую часть и приведем к общему знаменателю.

1. Переносим все в левую часть:

$\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x+1} - \frac{8}{x^2-1} < 0$

2. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, $x+1 \neq 0$ и $x^2-1 \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

3. Замечаем, что $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Это общий знаменатель. Приводим дроби к нему:

$\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{8}{(x-1)(x+1)} < 0$

4. Записываем все под одной дробной чертой и упрощаем числитель:

$\frac{x(x+1) - 2(x-1) - 8}{(x-1)(x+1)} < 0$

$\frac{x^2+x - 2x + 2 - 8}{(x-1)(x+1)} < 0$

$\frac{x^2 - x - 6}{(x-1)(x+1)} < 0$

5. Решаем полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя ($x^2 - x - 6 = 0$). По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Корни знаменателя: $x_3 = 1$, $x_4 = -1$.

6. Наносим найденные точки на числовую ось. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Точки разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

7. Определяем знак выражения $\frac{(x+2)(x-3)}{(x+1)(x-1)}$ на каждом интервале.
При $x=4$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
При $x=2$: $\frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0$
При $x=0$: $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} > 0$
При $x=-1.5$: $\frac{(+)(-)}{(-)(+)} < 0$
При $x=-3$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

8. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы $(-2; -1)$ и $(1; 3)$.

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (1; 3)$.

б)

Для решения неравенства $\frac{4}{x+1} - \frac{x}{x-1} > \frac{3}{x^2-1}$ выполним аналогичные действия.

1. Переносим все в левую часть:

$\frac{4}{x+1} - \frac{x}{x-1} - \frac{3}{x^2-1} > 0$

2. ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

3. Приводим к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:

$\frac{4(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{3}{(x-1)(x+1)} > 0$

4. Упрощаем числитель:

$\frac{4(x-1) - x(x+1) - 3}{(x-1)(x+1)} > 0$

$\frac{4x - 4 - x^2 - x - 3}{(x-1)(x+1)} > 0$

$\frac{-x^2 + 3x - 7}{(x-1)(x+1)} > 0$

5. Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 3x + 7}{(x-1)(x+1)} < 0$

6. Рассмотрим числитель $x^2 - 3x + 7$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, а старший коэффициент $a = 1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 7$ всегда принимает положительные значения. Он не имеет корней и не влияет на знак дроби.

7. Так как числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя. Неравенство равносильно следующему:

$(x-1)(x+1) < 0$

8. Решим это квадратное неравенство. Корнями являются $x=1$ и $x=-1$. Графиком функции $y=(x-1)(x+1)$ является парабола с ветвями вверх, которая принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал $(-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

1106. a) $1 < \frac{3x-1}{2x+1} < 2;$

б) $1 < \frac{2x-1}{3x+1} < 2.$

а) Исходное двойное неравенство $1 < \frac{3x-1}{2x+1} < 2$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{3x-1}{2x+1} > 1 \\ \frac{3x-1}{2x+1} < 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Решим первое неравенство: $\frac{3x-1}{2x+1} > 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x-1}{2x+1} - 1 > 0$

$\frac{3x-1 - (2x+1)}{2x+1} > 0$

$\frac{x-2}{2x+1} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$ и $2x+1=0 \implies x=-0,5$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Определив знаки выражения $\frac{x-2}{2x+1}$ на каждом из них, получим, что неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -0,5) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{3x-1}{2x+1} < 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x-1}{2x+1} - 2 < 0$

$\frac{3x-1 - 2(2x+1)}{2x+1} < 0$

$\frac{3x-1 - 4x - 2}{2x+1} < 0$

$\frac{-x-3}{2x+1} < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x+3}{2x+1} > 0$

Снова применим метод интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x+3=0 \implies x=-3$ и $2x+1=0 \implies x=-0,5$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Определив знаки выражения $\frac{x+3}{2x+1}$, находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (-0,5; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение системы — это пересечение множеств, найденных в пунктах 1 и 2: $x \in ((-\infty; -0,5) \cup (2; +\infty)) \cap ((-\infty; -3) \cup (-0,5; +\infty))$.

Изобразив эти множества на числовой оси, находим их пересечение.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

б) Исходное двойное неравенство $1 < \frac{2x-1}{3x+1} < 2$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{2x-1}{3x+1} > 1 \\ \frac{2x-1}{3x+1} < 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Решим первое неравенство: $\frac{2x-1}{3x+1} > 1$.

$\frac{2x-1}{3x+1} - 1 > 0$

$\frac{2x-1 - (3x+1)}{3x+1} > 0$

$\frac{-x-2}{3x+1} > 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{x+2}{3x+1} < 0$

Методом интервалов находим корни: $x=-2$ и $x=-1/3$. Выражение отрицательно между корнями, так как ветви параболы (для произведения $(x+2)(3x+1)$) направлены вверх. Решение: $x \in (-2; -1/3)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{2x-1}{3x+1} < 2$.

$\frac{2x-1}{3x+1} - 2 < 0$

$\frac{2x-1 - 2(3x+1)}{3x+1} < 0$

$\frac{2x-1 - 6x - 2}{3x+1} < 0$

$\frac{-4x-3}{3x+1} < 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{4x+3}{3x+1} > 0$

Методом интервалов находим корни: $x=-3/4$ и $x=-1/3$. Выражение положительно вне интервала между корнями. Решение: $x \in (-\infty; -3/4) \cup (-1/3; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение системы — это пересечение полученных множеств: $x \in (-2; -1/3) \cap ((-\infty; -3/4) \cup (-1/3; +\infty))$.

Учитывая, что $-2 < -3/4 < -1/3$, пересечением является интервал от -2 до -3/4.

Ответ: $x \in (-2; -3/4)$.

Последовательности

1107. a) Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 3, ни на 5?
б) Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 6, ни на 8?

а) Чтобы найти количество чисел от 1 до 100, которые не делятся ни на 3, ни на 5, мы используем принцип включений-исключений. Сначала определим, сколько чисел делится хотя бы на одно из этих чисел (на 3 или на 5), а затем вычтем это количество из общего числа (100).

1. Найдём количество чисел, делящихся на 3. Для этого разделим 100 на 3 и возьмём целую часть от деления:
$N_3 = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

2. Найдём количество чисел, делящихся на 5:
$N_5 = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$

3. Числа, которые делятся и на 3, и на 5 одновременно, были посчитаны дважды. Эти числа делятся на их наименьшее общее кратное, НОК(3, 5) = 15. Найдём их количество:
$N_{15} = \lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6$

4. Количество чисел, делящихся на 3 или на 5, равно сумме $N_3$ и $N_5$ минус их общая часть $N_{15}$:
$N_{3 \text{ или } 5} = N_3 + N_5 - N_{15} = 33 + 20 - 6 = 47$

5. Теперь найдём количество чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, вычитая 47 из общего количества чисел (100):
$100 - 47 = 53$

Ответ: 53

б) Аналогично решим задачу для чисел, не делящихся ни на 6, ни на 8.

1. Найдём количество чисел, делящихся на 6:
$N_6 = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

2. Найдём количество чисел, делящихся на 8:
$N_8 = \lfloor \frac{100}{8} \rfloor = 12$

3. Найдём количество чисел, делящихся и на 6, и на 8. Эти числа делятся на наименьшее общее кратное НОК(6, 8). Разложим 6 и 8 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2^3$. Тогда НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 24$. Количество чисел, делящихся на 24, равно:
$N_{24} = \lfloor \frac{100}{24} \rfloor = 4$

4. Количество чисел, делящихся на 6 или на 8, равно:
$N_{6 \text{ или } 8} = N_6 + N_8 - N_{24} = 16 + 12 - 4 = 24$

5. Количество чисел, которые не делятся ни на 6, ни на 8, равно:
$100 - 24 = 76$

Ответ: 76

1108. Укажите наименьший член последовательности ${x_n}$, заданной формулой общего члена:

а) ${x_n = n^2 - 6n + 5;}$

б) ${x_n = n^2 - 18n + 1;}$

в) ${x_n = 3n^2 - 16n - 1;}$

г) ${x_n = 7n^2 - 50n.}$

а) $x_n = n^2 - 6n + 5$

Чтобы найти наименьший член последовательности, заданной квадратичной функцией, мы можем рассмотреть соответствующую параболу $y = f(n) = n^2 - 6n + 5$. Так как коэффициент при $n^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет точку минимума. Абсцисса вершины параболы, в которой достигается минимум, вычисляется по формуле $n_0 = -b / (2a)$.

В нашем случае, $a = 1$ и $b = -6$.

$n_0 = -(-6) / (2 \cdot 1) = 6 / 2 = 3$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, а полученное значение $n_0 = 3$ является натуральным, то наименьший член последовательности будет именно $x_3$.

Вычислим его значение:

$x_3 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

Ответ: -4.

б) $x_n = n^2 - 18n + 1$

Рассмотрим параболу $y = f(n) = n^2 - 18n + 1$. Коэффициент при $n^2$ равен 1, ветви параболы направлены вверх. Найдем абсциссу вершины:

$n_0 = -b / (2a) = -(-18) / (2 \cdot 1) = 18 / 2 = 9$.

Поскольку $n_0 = 9$ является натуральным числом, наименьший член последовательности будет $x_9$.

Вычислим его значение:

$x_9 = 9^2 - 18 \cdot 9 + 1 = 81 - 162 + 1 = -80$.

Ответ: -80.

в) $x_n = 3n^2 - 16n - 1$

Рассмотрим параболу $y = f(n) = 3n^2 - 16n - 1$. Коэффициент при $n^2$ равен 3, ветви параболы направлены вверх. Найдем абсциссу вершины:

$n_0 = -b / (2a) = -(-16) / (2 \cdot 3) = 16 / 6 = 8 / 3 \approx 2.67$.

Поскольку $n_0 \approx 2.67$ не является натуральным числом, наименьшее значение последовательности будет достигаться при одном из двух ближайших к $n_0$ натуральных чисел. Это $n=2$ и $n=3$.

Сравним значения $x_2$ и $x_3$:

$x_2 = 3 \cdot 2^2 - 16 \cdot 2 - 1 = 3 \cdot 4 - 32 - 1 = 12 - 32 - 1 = -21$.

$x_3 = 3 \cdot 3^2 - 16 \cdot 3 - 1 = 3 \cdot 9 - 48 - 1 = 27 - 48 - 1 = -22$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-22 < -21$. Следовательно, наименьший член последовательности равен -22.

Ответ: -22.

г) $x_n = 7n^2 - 50n$

Рассмотрим параболу $y = f(n) = 7n^2 - 50n$. Коэффициент при $n^2$ равен 7, ветви параболы направлены вверх. Найдем абсциссу вершины:

$n_0 = -b / (2a) = -(-50) / (2 \cdot 7) = 50 / 14 = 25 / 7 \approx 3.57$.

Поскольку $n_0 \approx 3.57$ не является натуральным числом, наименьшее значение последовательности будет достигаться при одном из двух ближайших к $n_0$ натуральных чисел. Это $n=3$ и $n=4$.

Сравним значения $x_3$ и $x_4$:

$x_3 = 7 \cdot 3^2 - 50 \cdot 3 = 7 \cdot 9 - 150 = 63 - 150 = -87$.

$x_4 = 7 \cdot 4^2 - 50 \cdot 4 = 7 \cdot 16 - 200 = 112 - 200 = -88$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-88 < -87$. Следовательно, наименьший член последовательности равен -88.

Ответ: -88.

1109. Из «Курса чистой математики» Е.Д. Войтяховского. Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к. и т. д. Всего воин получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

В задаче описана последовательность вознаграждений за раны. За первую рану дано 1 к., за вторую — 2 к., за третью — 4 к. и так далее. Эта последовательность является геометрической прогрессией.

Обозначим члены этой прогрессии как $b_n$, где $n$ — номер раны.

• Вознаграждение за первую рану: $b_1 = 1$ копейка.
• Вознаграждение за вторую рану: $b_2 = 2$ копейки.
• Вознаграждение за третью рану: $b_3 = 4$ копейки.

Знаменатель этой геометрической прогрессии $q$ равен: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{1} = 2$

Общая сумма вознаграждения, которую получил воин, составляет 655 рублей 35 копеек. Для удобства расчетов переведем эту сумму полностью в копейки, учитывая, что в одном рубле 100 копеек: $S_{total} = 655 \times 100 + 35 = 65500 + 35 = 65535$ копеек.

Эта общая сумма представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии, где $n$ — искомое число ран. Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Подставим в формулу известные нам значения: $S_n = 65535$, $b_1 = 1$, $q = 2$. $65535 = 1 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1}$

Упростим полученное уравнение: $65535 = \frac{2^n - 1}{1}$ $65535 = 2^n - 1$

Теперь выразим $2^n$ и найдем $n$: $2^n = 65535 + 1$ $2^n = 65536$

Чтобы найти $n$, нужно определить, в какую степень следует возвести число 2, чтобы получить 65536. Мы знаем, что $2^{10} = 1024$. Также $65536 = 64 \times 1024 = 2^6 \times 2^{10} = 2^{16}$. Следовательно, $n = 16$.

Ответ: 16.

1110. Группа туристов вышла из города А в направлении города В, удалённого от города А на $a$ км. В первый день группа прошла 40 км, а в каждый последующий день она проходила на 1 км больше, чем в предыдущий. Через $t$ дней из города В в том же направлении вышла вторая группа туристов, которая в первый день прошла 30 км, а в каждый следующий день проходила на 2 км больше, чем в предыдущий. Через сколько дней после своего выхода первая группа догонит вторую, если:

а) $a = 100, t = 1;$

б) $a = 114, t = 2;$

в) $a = 91, t = 1;$

г) $a = 131, t = 2?$

Обозначим через $N$ количество дней, которое первая группа была в пути до того, как догнала вторую. Путь, пройденный каждой группой, представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.

Для первой группы: первый член $d_{1,1} = 40$ км, разность $r_1 = 1$ км. Путь за $N$ дней:$S_1(N) = \frac{2d_{1,1} + (N-1)r_1}{2}N = \frac{2 \cdot 40 + (N-1) \cdot 1}{2}N = \frac{79+N}{2}N$.

Для второй группы: она вышла на $t$ дней позже, значит, была в пути $N-t$ дней. Первый член $d_{2,1} = 30$ км, разность $r_2 = 2$ км. Путь за $N-t$ дней:$S_2(N-t) = \frac{2d_{2,1} + (N-t-1)r_2}{2}(N-t) = \frac{2 \cdot 30 + (N-t-1) \cdot 2}{2}(N-t) = (30 + N-t-1)(N-t) = (29+N-t)(N-t)$.

Первая группа стартовала из города А. Вторая группа стартовала из города В, который находится на расстоянии $a$ км от А, и движется в том же направлении. Первая группа догонит вторую, когда их расстояния от города А станут равными:$S_1(N) = a + S_2(N-t)$.Подставим формулы для путей:$\frac{(79+N)N}{2} = a + (29+N-t)(N-t)$.Это общее уравнение, которое мы будем решать для каждого из подпунктов.

а) При $a=100$ и $t=1$ уравнение принимает вид:
$\frac{(79+N)N}{2} = 100 + (29+N-1)(N-1)$
$\frac{79N+N^2}{2} = 100 + (28+N)(N-1)$
$79N+N^2 = 200 + 2(28N - 28 + N^2 - N)$
$79N+N^2 = 200 + 2(N^2 + 27N - 28)$
$79N+N^2 = 200 + 2N^2 + 54N - 56$
$N^2 - 25N + 144 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $N = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{25 \pm 7}{2}$.
$N_1 = \frac{25 - 7}{2} = 9$
$N_2 = \frac{25 + 7}{2} = 16$
Оба корня удовлетворяют условию $N > t$ (т.е. $N>1$). В задаче спрашивается, когда первая группа догонит вторую, что соответствует первому моменту их встречи. Поэтому выбираем наименьший корень.
Ответ: 9 дней.

б) При $a=114$ и $t=2$ уравнение принимает вид:
$\frac{(79+N)N}{2} = 114 + (29+N-2)(N-2)$
$\frac{79N+N^2}{2} = 114 + (27+N)(N-2)$
$79N+N^2 = 228 + 2(27N - 54 + N^2 - 2N)$
$79N+N^2 = 228 + 2(N^2 + 25N - 54)$
$79N+N^2 = 228 + 2N^2 + 50N - 108$
$N^2 - 29N + 120 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 841 - 480 = 361 = 19^2$.
Корни уравнения: $N = \frac{29 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{29 \pm 19}{2}$.
$N_1 = \frac{29 - 19}{2} = 5$
$N_2 = \frac{29 + 19}{2} = 24$
Оба корня удовлетворяют условию $N > t$ (т.е. $N>2$). Выбираем наименьший корень.
Ответ: 5 дней.

в) При $a=91$ и $t=1$ уравнение принимает вид:
$\frac{(79+N)N}{2} = 91 + (29+N-1)(N-1)$
$\frac{79N+N^2}{2} = 91 + (28+N)(N-1)$
$79N+N^2 = 182 + 2(28N - 28 + N^2 - N)$
$79N+N^2 = 182 + 2(N^2 + 27N - 28)$
$79N+N^2 = 182 + 2N^2 + 54N - 56$
$N^2 - 25N + 126 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 126 = 625 - 504 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $N = \frac{25 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{25 \pm 11}{2}$.
$N_1 = \frac{25 - 11}{2} = 7$
$N_2 = \frac{25 + 11}{2} = 18$
Оба корня удовлетворяют условию $N > t$ (т.е. $N>1$). Выбираем наименьший корень.
Ответ: 7 дней.

г) При $a=131$ и $t=2$ уравнение принимает вид:
$\frac{(79+N)N}{2} = 131 + (29+N-2)(N-2)$
$\frac{79N+N^2}{2} = 131 + (27+N)(N-2)$
$79N+N^2 = 262 + 2(27N - 54 + N^2 - 2N)$
$79N+N^2 = 262 + 2(N^2 + 25N - 54)$
$79N+N^2 = 262 + 2N^2 + 50N - 108$
$N^2 - 29N + 154 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 154 = 841 - 616 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения: $N = \frac{29 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{29 \pm 15}{2}$.
$N_1 = \frac{29 - 15}{2} = 7$
$N_2 = \frac{29 + 15}{2} = 22$
Оба корня удовлетворяют условию $N > t$ (т.е. $N>2$). Выбираем наименьший корень.
Ответ: 7 дней.