Номер 1103, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1103. а) $\frac{4}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} > 12;$

б) $\frac{3}{3-x} + \frac{1}{(3-x)^2} > 18;$

в) $\frac{4}{4-x} + \frac{1}{(4-x)^2} \le 5;$

г) $\frac{3}{3-x} + \frac{1}{(3-x)^2} \le 10.$

a) Решим неравенство $ \frac{4}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} > 12 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $ 1-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $.

Для упрощения неравенства введем замену переменной. Пусть $ t = \frac{1}{1-x} $. Неравенство примет вид:

$ 4t + t^2 > 12 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ t^2 + 4t - 12 > 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 + 4t - 12 = 0 $. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $ t_1 = -6 $ и $ t_2 = 2 $.

Парабола $ y = t^2 + 4t - 12 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ t^2 + 4t - 12 > 0 $ выполняется, когда $ t < -6 $ или $ t > 2 $.

Теперь выполним обратную замену. Мы получили совокупность двух неравенств:

$ \left[ \begin{gathered} \frac{1}{1-x} < -6 \\ \frac{1}{1-x} > 2 \end{gathered} \right. $

1. Решим первое неравенство $ \frac{1}{1-x} < -6 $:

$ \frac{1}{1-x} + 6 < 0 \implies \frac{1 + 6(1-x)}{1-x} < 0 \implies \frac{7 - 6x}{1-x} < 0 $

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что решение: $ x \in (1, \frac{7}{6}) $.

2. Решим второе неравенство $ \frac{1}{1-x} > 2 $:

$ \frac{1}{1-x} - 2 > 0 \implies \frac{1 - 2(1-x)}{1-x} > 0 \implies \frac{2x - 1}{1-x} > 0 $

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что решение: $ x \in (\frac{1}{2}, 1) $.

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ, который удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 1 $).

Ответ: $ x \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \frac{7}{6}) $.

б) Решим неравенство $ \frac{3}{3-x} + \frac{1}{(3-x)^2} > 18 $.

ОДЗ: $ 3-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $.

Пусть $ t = \frac{1}{3-x} $. Неравенство принимает вид:

$ 3t + t^2 > 18 $

$ t^2 + 3t - 18 > 0 $

Найдем корни уравнения $ t^2 + 3t - 18 = 0 $. Корни: $ t_1 = -6 $ и $ t_2 = 3 $.

Неравенство $ t^2 + 3t - 18 > 0 $ выполняется при $ t < -6 $ или $ t > 3 $.

Выполняем обратную замену:

$ \left[ \begin{gathered} \frac{1}{3-x} < -6 \\ \frac{1}{3-x} > 3 \end{gathered} \right. $

1. $ \frac{1}{3-x} < -6 \implies \frac{1 + 6(3-x)}{3-x} < 0 \implies \frac{19 - 6x}{3-x} < 0 $. Решение: $ x \in (3, \frac{19}{6}) $.

2. $ \frac{1}{3-x} > 3 \implies \frac{1 - 3(3-x)}{3-x} > 0 \implies \frac{3x - 8}{3-x} > 0 $. Решение: $ x \in (\frac{8}{3}, 3) $.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x \in (\frac{8}{3}, 3) \cup (3, \frac{19}{6}) $.

в) Решим неравенство $ \frac{4}{4-x} + \frac{1}{(4-x)^2} \le 5 $.

ОДЗ: $ 4-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 4 $.

Пусть $ t = \frac{1}{4-x} $. Неравенство принимает вид:

$ 4t + t^2 \le 5 $

$ t^2 + 4t - 5 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ t^2 + 4t - 5 = 0 $. Корни: $ t_1 = -5 $ и $ t_2 = 1 $.

Парабола $ y = t^2 + 4t - 5 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ t^2 + 4t - 5 \le 0 $ выполняется при $ -5 \le t \le 1 $.

Выполняем обратную замену, что эквивалентно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} \frac{1}{4-x} \ge -5 \\ \frac{1}{4-x} \le 1 \end{cases} $

1. $ \frac{1}{4-x} \ge -5 \implies \frac{1 + 5(4-x)}{4-x} \ge 0 \implies \frac{21 - 5x}{4-x} \ge 0 $. Решение: $ x \in (-\infty, 4) \cup [\frac{21}{5}, \infty) $.

2. $ \frac{1}{4-x} \le 1 \implies \frac{1 - (4-x)}{4-x} \le 0 \implies \frac{x - 3}{4-x} \le 0 $. Решение: $ x \in (-\infty, 3] \cup (4, \infty) $.

Находим пересечение решений этих двух неравенств.

Ответ: $ x \in (-\infty, 3] \cup [\frac{21}{5}, \infty) $.

г) Решим неравенство $ \frac{3}{3-x} + \frac{1}{(3-x)^2} \le 10 $.

ОДЗ: $ 3-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $.

Пусть $ t = \frac{1}{3-x} $. Неравенство принимает вид:

$ 3t + t^2 \le 10 $

$ t^2 + 3t - 10 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ t^2 + 3t - 10 = 0 $. Корни: $ t_1 = -5 $ и $ t_2 = 2 $.

Неравенство $ t^2 + 3t - 10 \le 0 $ выполняется при $ -5 \le t \le 2 $.

Выполняем обратную замену:

$ \begin{cases} \frac{1}{3-x} \ge -5 \\ \frac{1}{3-x} \le 2 \end{cases} $

1. $ \frac{1}{3-x} \ge -5 \implies \frac{1 + 5(3-x)}{3-x} \ge 0 \implies \frac{16 - 5x}{3-x} \ge 0 $. Решение: $ x \in (-\infty, 3) \cup [\frac{16}{5}, \infty) $.

2. $ \frac{1}{3-x} \le 2 \implies \frac{1 - 2(3-x)}{3-x} \le 0 \implies \frac{2x - 5}{3-x} \le 0 $. Решение: $ x \in (-\infty, \frac{5}{2}] \cup (3, \infty) $.

Находим пересечение решений этих двух неравенств.

Ответ: $ x \in (-\infty, \frac{5}{2}] \cup [\frac{16}{5}, \infty) $.