Номер 1099, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1099. При каких значениях m неравенство не имеет решений:

а) $x^2 - 4x + m < 0$;

б) $x^2 + 2x + m < 0$;

в) $x^2 - mx + 4 < 0$;

г) $x^2 + mx + 9 < 0?$

а) $x^2 - 4x + m < 0$

Данное квадратное неравенство не имеет решений, если соответствующая квадратичная функция $y = x^2 - 4x + m$ принимает только неотрицательные значения, то есть $y \ge 0$ для любого $x$.

Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Парабола будет расположена не ниже оси абсцисс, если она либо касается ее в одной точке, либо не имеет с ней общих точек. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ квадратного трехчлена $x^2 - 4x + m$ меньше или равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m$

Решим неравенство $D \le 0$:

$16 - 4m \le 0$

$16 \le 4m$

$m \ge 4$

Ответ: при $m \ge 4$.

б) $x^2 + 2x + m < 0$

Аналогично пункту а), это неравенство не имеет решений, если парабола $y = x^2 + 2x + m$ (ветви вверх) лежит не ниже оси абсцисс. Это произойдет, если дискриминант $D$ соответствующего квадратного трехчлена будет меньше или равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m$

Решим неравенство $D \le 0$:

$4 - 4m \le 0$

$4 \le 4m$

$m \ge 1$

Ответ: при $m \ge 1$.

в) $x^2 - mx + 4 < 0$

Неравенство не будет иметь решений, если парабола $y = x^2 - mx + 4$ (ветви вверх) не опускается ниже оси абсцисс. Для этого дискриминант $D$ квадратного трехчлена должен быть меньше или равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = m^2 - 16$

Решим неравенство $D \le 0$:

$m^2 - 16 \le 0$

$(m - 4)(m + 4) \le 0$

Корнями уравнения $m^2 - 16 = 0$ являются $m_1 = -4$ и $m_2 = 4$. Так как это парабола $y = m^2 - 16$ с ветвями вверх, неравенство $m^2 - 16 \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).

Следовательно, $-4 \le m \le 4$.

Ответ: при $-4 \le m \le 4$.

г) $x^2 + mx + 9 < 0$

Неравенство не имеет решений, если парабола $y = x^2 + mx + 9$ (ветви вверх) целиком находится в верхней полуплоскости или касается оси $x$. Это условие эквивалентно тому, что дискриминант $D$ квадратного трехчлена меньше или равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = m^2 - 36$

Решим неравенство $D \le 0$:

$m^2 - 36 \le 0$

$(m - 6)(m + 6) \le 0$

Корнями уравнения $m^2 - 36 = 0$ являются $m_1 = -6$ и $m_2 = 6$. Неравенство $m^2 - 36 \le 0$ выполняется на отрезке между этими корнями.

Следовательно, $-6 \le m \le 6$.

Ответ: при $-6 \le m \le 6$.