Номер 1100, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (1100—1106):

1100. а) $(2x - 3)^2 \geq (5x + 9)^2$;

б) $(4x + 3)^2 \leq (9x - 7)^2$;

в) $(x - 3)(x - 2)^2 \geq 0$;

г) $(x - 5)(x + 1)^2 \geq 0;$

д) $25x^4 \geq 16x^2$;

е) $4x^4 \geq 9x^2$.

а) Решим неравенство $(2x - 3)^2 \ge (5x + 9)^2$. Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства: $(2x - 3)^2 - (5x + 9)^2 \ge 0$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x - 3$ и $b = 5x + 9$: $((2x - 3) - (5x + 9))((2x - 3) + (5x + 9)) \ge 0$. Упростим выражения в каждой скобке: $(2x - 3 - 5x - 9)(2x - 3 + 5x + 9) \ge 0$, что равносильно $(-3x - 12)(7x + 6) \ge 0$. Вынесем общий множитель $-3$ из первой скобки: $-3(x + 4)(7x + 6) \ge 0$. Разделим обе части на $-3$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $(x + 4)(7x + 6) \le 0$. Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 4)(7x + 6) = 0$. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -\frac{6}{7}$. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала. Так как это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх, то значения функции будут меньше или равны нулю между корнями. Следовательно, решением является промежуток $[-4; -\frac{6}{7}]$.
Ответ: $x \in [-4; -\frac{6}{7}]$.

б) Решим неравенство $(4x + 3)^2 \le (9x - 7)^2$. Перенесем все слагаемые в левую часть: $(4x + 3)^2 - (9x - 7)^2 \le 0$. Применим формулу разности квадратов: $((4x + 3) - (9x - 7))((4x + 3) + (9x - 7)) \le 0$. Упростим: $(4x + 3 - 9x + 7)(4x + 3 + 9x - 7) \le 0$, что дает $(-5x + 10)(13x - 4) \le 0$. Вынесем $-5$ из первой скобки: $-5(x - 2)(13x - 4) \le 0$. Разделим обе части на $-5$ и сменим знак неравенства: $(x - 2)(13x - 4) \ge 0$. Найдем корни уравнения $(x - 2)(13x - 4) = 0$: $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{4}{13}$. График функции $y = (x - 2)(13x - 4)$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня. Таким образом, решением является объединение промежутков $(-\infty; \frac{4}{13}] \cup [2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{13}] \cup [2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $(x - 3)(x - 2)^2 \ge 0$. Выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$. Оно равно нулю при $x = 2$. При $x = 2$ исходное неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$, значит, $x = 2$ является решением. Если $x \ne 2$, то $(x - 2)^2 > 0$. В этом случае, чтобы неравенство выполнялось, необходимо, чтобы первый множитель был неотрицателен: $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Объединяя полученные результаты, получаем, что решение неравенства — это точка $x=2$ и промежуток $[3; +\infty)$.
Ответ: $x \in \{2\} \cup [3; +\infty)$.

г) Решим неравенство $(x - 5)(x + 1)^2 \ge 0$. Аналогично предыдущему пункту, множитель $(x + 1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -1$. При $x = -1$ неравенство становится верным ($0 \ge 0$), поэтому $x = -1$ является решением. Если $x \ne -1$, то $(x + 1)^2 > 0$. Тогда для выполнения неравенства требуется, чтобы $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$. Объединяя решения, получаем точку $x=-1$ и промежуток $[5; +\infty)$.
Ответ: $x \in \{-1\} \cup [5; +\infty)$.

д) Решим неравенство $25x^4 \ge 16x^2$. Перенесем все в левую часть: $25x^4 - 16x^2 \ge 0$. Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(25x^2 - 16) \ge 0$. Выражение в скобках является разностью квадратов: $25x^2 - 16 = (5x - 4)(5x + 4)$. Неравенство принимает вид $x^2(5x - 4)(5x + 4) \ge 0$. Множитель $x^2$ всегда неотрицателен. $x=0$ является решением, так как при этом значении неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$. Если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$, и неравенство сводится к $(5x - 4)(5x + 4) \ge 0$. Корни этого квадратного трехчлена: $x_1 = \frac{4}{5}$ и $x_2 = -\frac{4}{5}$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства — $x \in (-\infty; -\frac{4}{5}] \cup [\frac{4}{5}; +\infty)$. Объединяя это решение с ранее найденным $x=0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{5}] \cup \{0\} \cup [\frac{4}{5}; +\infty)$.

е) Решим неравенство $4x^4 \ge 9x^2$. Перенесем все в левую часть: $4x^4 - 9x^2 \ge 0$. Вынесем $x^2$ за скобки: $x^2(4x^2 - 9) \ge 0$. Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов: $x^2(2x - 3)(2x + 3) \ge 0$. Множитель $x^2$ неотрицателен при любых $x$. При $x=0$ неравенство выполняется ($0 \ge 0$), значит $x=0$ — решение. При $x \ne 0$ имеем $x^2 > 0$, поэтому можно разделить на $x^2$, сохранив знак неравенства: $(2x - 3)(2x + 3) \ge 0$. Корни этого выражения: $x_1 = \frac{3}{2}$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$. График $y=(2x - 3)(2x + 3)$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$. Объединяя с решением $x=0$, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup \{0\} \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.