Номер 1098, страница 284 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1098. При каких значениях b неравенство не имеет решений:

а) $3x^2 - bx - 1 < 0;$

б) $x^2 + bx + 4 < 0?$

а) Рассмотрим неравенство $3x^2 - bx - 1 < 0$. Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = 3x^2 - bx - 1$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $3$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $3x^2 - bx - 1 < 0$ просит найти значения $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс (оси Ox). Чтобы это неравенство не имело решений, необходимо, чтобы парабола нигде не была ниже оси Ox. Это означает, что она должна целиком располагаться выше оси Ox или касаться ее в одной точке (в вершине).

Такое расположение параболы возможно, если соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - bx - 1 = 0$ не имеет действительных корней или имеет один действительный корень. Это условие эквивалентно тому, что дискриминант $D$ квадратного трехчлена должен быть меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Найдем дискриминант для трехчлена $3x^2 - bx - 1$: $D = (-b)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = b^2 + 12$.

Теперь применим условие $D \le 0$: $b^2 + 12 \le 0$ $b^2 \le -12$

Квадрат любого действительного числа $b$ всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$. Поэтому неравенство $b^2 \le -12$ не имеет решений.

Это означает, что дискриминант $D = b^2 + 12$ всегда строго положителен при любом значении $b$. Следовательно, парабола $y = 3x^2 - bx - 1$ всегда пересекает ось Ox в двух различных точках. Между этими точками график функции находится ниже оси Ox, а значит, неравенство $3x^2 - bx - 1 < 0$ всегда имеет решения.

Ответ: таких значений $b$ не существует.

б) Рассмотрим неравенство $x^2 + bx + 4 < 0$. Левая часть неравенства — это квадратичная функция $y = x^2 + bx + 4$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

Неравенство не будет иметь решений, если парабола $y = x^2 + bx + 4$ будет полностью расположена выше оси Ox или будет касаться ее. Для этого необходимо, чтобы дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $x^2 + bx + 4 = 0$ был меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = b^2 - 16$.

Решим неравенство $D \le 0$: $b^2 - 16 \le 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(b - 4)(b + 4) \le 0$

Решением этого неравенства является промежуток между корнями $-4$ и $4$, включая концы. Таким образом, $-4 \le b \le 4$.

При значениях $b$ из этого промежутка дискриминант будет неположительным, и парабола не будет опускаться ниже оси Ox. Следовательно, неравенство $x^2 + bx + 4 < 0$ не будет иметь решений.

Ответ: при $b \in [-4; 4]$.