Номер 1105, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1105. a) $\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x+1} < \frac{8}{x^2-1}$;

б) $\frac{4}{x+1} - \frac{x}{x-1} > \frac{3}{x^2-1}$.

а)

Для решения неравенства $\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x+1} < \frac{8}{x^2-1}$ перенесем все его члены в левую часть и приведем к общему знаменателю.

1. Переносим все в левую часть:

$\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x+1} - \frac{8}{x^2-1} < 0$

2. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, $x+1 \neq 0$ и $x^2-1 \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

3. Замечаем, что $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Это общий знаменатель. Приводим дроби к нему:

$\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{8}{(x-1)(x+1)} < 0$

4. Записываем все под одной дробной чертой и упрощаем числитель:

$\frac{x(x+1) - 2(x-1) - 8}{(x-1)(x+1)} < 0$

$\frac{x^2+x - 2x + 2 - 8}{(x-1)(x+1)} < 0$

$\frac{x^2 - x - 6}{(x-1)(x+1)} < 0$

5. Решаем полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя ($x^2 - x - 6 = 0$). По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Корни знаменателя: $x_3 = 1$, $x_4 = -1$.

6. Наносим найденные точки на числовую ось. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Точки разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

7. Определяем знак выражения $\frac{(x+2)(x-3)}{(x+1)(x-1)}$ на каждом интервале.
При $x=4$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
При $x=2$: $\frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0$
При $x=0$: $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} > 0$
При $x=-1.5$: $\frac{(+)(-)}{(-)(+)} < 0$
При $x=-3$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

8. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы $(-2; -1)$ и $(1; 3)$.

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (1; 3)$.

б)

Для решения неравенства $\frac{4}{x+1} - \frac{x}{x-1} > \frac{3}{x^2-1}$ выполним аналогичные действия.

1. Переносим все в левую часть:

$\frac{4}{x+1} - \frac{x}{x-1} - \frac{3}{x^2-1} > 0$

2. ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

3. Приводим к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:

$\frac{4(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{3}{(x-1)(x+1)} > 0$

4. Упрощаем числитель:

$\frac{4(x-1) - x(x+1) - 3}{(x-1)(x+1)} > 0$

$\frac{4x - 4 - x^2 - x - 3}{(x-1)(x+1)} > 0$

$\frac{-x^2 + 3x - 7}{(x-1)(x+1)} > 0$

5. Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 3x + 7}{(x-1)(x+1)} < 0$

6. Рассмотрим числитель $x^2 - 3x + 7$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, а старший коэффициент $a = 1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 7$ всегда принимает положительные значения. Он не имеет корней и не влияет на знак дроби.

7. Так как числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя. Неравенство равносильно следующему:

$(x-1)(x+1) < 0$

8. Решим это квадратное неравенство. Корнями являются $x=1$ и $x=-1$. Графиком функции $y=(x-1)(x+1)$ является парабола с ветвями вверх, которая принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал $(-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.