Номер 1110, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1110. Группа туристов вышла из города А в направлении города В, удалённого от города А на $a$ км. В первый день группа прошла 40 км, а в каждый последующий день она проходила на 1 км больше, чем в предыдущий. Через $t$ дней из города В в том же направлении вышла вторая группа туристов, которая в первый день прошла 30 км, а в каждый следующий день проходила на 2 км больше, чем в предыдущий. Через сколько дней после своего выхода первая группа догонит вторую, если:

а) $a = 100, t = 1;$

б) $a = 114, t = 2;$

в) $a = 91, t = 1;$

г) $a = 131, t = 2?$

Обозначим через $N$ количество дней, которое первая группа была в пути до того, как догнала вторую. Путь, пройденный каждой группой, представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.

Для первой группы: первый член $d_{1,1} = 40$ км, разность $r_1 = 1$ км. Путь за $N$ дней:$S_1(N) = \frac{2d_{1,1} + (N-1)r_1}{2}N = \frac{2 \cdot 40 + (N-1) \cdot 1}{2}N = \frac{79+N}{2}N$.

Для второй группы: она вышла на $t$ дней позже, значит, была в пути $N-t$ дней. Первый член $d_{2,1} = 30$ км, разность $r_2 = 2$ км. Путь за $N-t$ дней:$S_2(N-t) = \frac{2d_{2,1} + (N-t-1)r_2}{2}(N-t) = \frac{2 \cdot 30 + (N-t-1) \cdot 2}{2}(N-t) = (30 + N-t-1)(N-t) = (29+N-t)(N-t)$.

Первая группа стартовала из города А. Вторая группа стартовала из города В, который находится на расстоянии $a$ км от А, и движется в том же направлении. Первая группа догонит вторую, когда их расстояния от города А станут равными:$S_1(N) = a + S_2(N-t)$.Подставим формулы для путей:$\frac{(79+N)N}{2} = a + (29+N-t)(N-t)$.Это общее уравнение, которое мы будем решать для каждого из подпунктов.

а) При $a=100$ и $t=1$ уравнение принимает вид:
$\frac{(79+N)N}{2} = 100 + (29+N-1)(N-1)$
$\frac{79N+N^2}{2} = 100 + (28+N)(N-1)$
$79N+N^2 = 200 + 2(28N - 28 + N^2 - N)$
$79N+N^2 = 200 + 2(N^2 + 27N - 28)$
$79N+N^2 = 200 + 2N^2 + 54N - 56$
$N^2 - 25N + 144 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $N = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{25 \pm 7}{2}$.
$N_1 = \frac{25 - 7}{2} = 9$
$N_2 = \frac{25 + 7}{2} = 16$
Оба корня удовлетворяют условию $N > t$ (т.е. $N>1$). В задаче спрашивается, когда первая группа догонит вторую, что соответствует первому моменту их встречи. Поэтому выбираем наименьший корень.
Ответ: 9 дней.

б) При $a=114$ и $t=2$ уравнение принимает вид:
$\frac{(79+N)N}{2} = 114 + (29+N-2)(N-2)$
$\frac{79N+N^2}{2} = 114 + (27+N)(N-2)$
$79N+N^2 = 228 + 2(27N - 54 + N^2 - 2N)$
$79N+N^2 = 228 + 2(N^2 + 25N - 54)$
$79N+N^2 = 228 + 2N^2 + 50N - 108$
$N^2 - 29N + 120 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 841 - 480 = 361 = 19^2$.
Корни уравнения: $N = \frac{29 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{29 \pm 19}{2}$.
$N_1 = \frac{29 - 19}{2} = 5$
$N_2 = \frac{29 + 19}{2} = 24$
Оба корня удовлетворяют условию $N > t$ (т.е. $N>2$). Выбираем наименьший корень.
Ответ: 5 дней.

в) При $a=91$ и $t=1$ уравнение принимает вид:
$\frac{(79+N)N}{2} = 91 + (29+N-1)(N-1)$
$\frac{79N+N^2}{2} = 91 + (28+N)(N-1)$
$79N+N^2 = 182 + 2(28N - 28 + N^2 - N)$
$79N+N^2 = 182 + 2(N^2 + 27N - 28)$
$79N+N^2 = 182 + 2N^2 + 54N - 56$
$N^2 - 25N + 126 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 126 = 625 - 504 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $N = \frac{25 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{25 \pm 11}{2}$.
$N_1 = \frac{25 - 11}{2} = 7$
$N_2 = \frac{25 + 11}{2} = 18$
Оба корня удовлетворяют условию $N > t$ (т.е. $N>1$). Выбираем наименьший корень.
Ответ: 7 дней.

г) При $a=131$ и $t=2$ уравнение принимает вид:
$\frac{(79+N)N}{2} = 131 + (29+N-2)(N-2)$
$\frac{79N+N^2}{2} = 131 + (27+N)(N-2)$
$79N+N^2 = 262 + 2(27N - 54 + N^2 - 2N)$
$79N+N^2 = 262 + 2(N^2 + 25N - 54)$
$79N+N^2 = 262 + 2N^2 + 50N - 108$
$N^2 - 29N + 154 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 154 = 841 - 616 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения: $N = \frac{29 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{29 \pm 15}{2}$.
$N_1 = \frac{29 - 15}{2} = 7$
$N_2 = \frac{29 + 15}{2} = 22$
Оба корня удовлетворяют условию $N > t$ (т.е. $N>2$). Выбираем наименьший корень.
Ответ: 7 дней.