Номер 1116, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1116. Найдите сумму первых пятидесяти пяти членов арифметической прогрессии, последний член которой равен 5,8, а сумма двух последних равна 11,5.

Пусть данная арифметическая прогрессия обозначается как $a_n$, где $n$ - номер члена прогрессии. По условию задачи, мы ищем сумму первых пятидесяти пяти членов, следовательно, общее количество членов в прогрессии $n = 55$.

Нам известно, что последний, то есть 55-й член прогрессии, равен 5,8. Запишем это в виде формулы: $a_{55} = 5,8$.

Также нам дана сумма двух последних членов, то есть 54-го и 55-го: $a_{54} + a_{55} = 11,5$.

Используя эти два условия, мы можем найти предпоследний (54-й) член прогрессии. Подставим известное значение $a_{55}$ в сумму: $a_{54} + 5,8 = 11,5$ $a_{54} = 11,5 - 5,8$ $a_{54} = 5,7$.

Теперь, зная два последовательных члена прогрессии, мы можем найти ее разность $d$: $d = a_{55} - a_{54}$ $d = 5,8 - 5,7 = 0,1$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Для вычисления суммы нам необходимо найти первый член прогрессии $a_1$.

Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим $a_1$ через $a_{55}$: $a_{55} = a_1 + (55-1)d$ $5,8 = a_1 + 54 \cdot 0,1$ $5,8 = a_1 + 5,4$ $a_1 = 5,8 - 5,4$ $a_1 = 0,4$.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления суммы первых 55 членов прогрессии:

• Первый член $a_1 = 0,4$
• Последний член $a_{55} = 5,8$
• Количество членов $n = 55$

Подставляем эти значения в формулу суммы: $S_{55} = \frac{a_1 + a_{55}}{2} \cdot 55$ $S_{55} = \frac{0,4 + 5,8}{2} \cdot 55$ $S_{55} = \frac{6,2}{2} \cdot 55$ $S_{55} = 3,1 \cdot 55$ $S_{55} = 170,5$.

Ответ: 170,5.