Номер 1120, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1120. a) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 2 или 3.

б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, не кратных 7.

а) Чтобы найти сумму всех двузначных чисел, кратных 2 или 3, мы воспользуемся принципом включений-исключений. Сначала найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 2 ($S_2$), затем сумму всех двузначных чисел, кратных 3 ($S_3$), и вычтем из их суммы сумму всех двузначных чисел, кратных и 2, и 3, то есть кратных 6 ($S_6$). Искомая сумма $S = S_2 + S_3 - S_6$.
Все эти последовательности являются арифметическими прогрессиями. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.

1. Найдем сумму чисел, кратных 2 ($S_2$):
Первое двузначное число, кратное 2, это $a_1 = 10$. Последнее — $a_n = 98$.
Количество таких чисел: $n = \frac{98 - 10}{2} + 1 = 44 + 1 = 45$.
Сумма: $S_2 = \frac{10 + 98}{2} \cdot 45 = \frac{108}{2} \cdot 45 = 54 \cdot 45 = 2430$.

2. Найдем сумму чисел, кратных 3 ($S_3$):
Первое двузначное число, кратное 3, это $b_1 = 12$. Последнее — $b_m = 99$.
Количество таких чисел: $m = \frac{99 - 12}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$.
Сумма: $S_3 = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

3. Найдем сумму чисел, кратных 6 ($S_6$):
Первое двузначное число, кратное 6, это $c_1 = 12$. Последнее — $c_k = 96$.
Количество таких чисел: $k = \frac{96 - 12}{6} + 1 = 14 + 1 = 15$.
Сумма: $S_6 = \frac{12 + 96}{2} \cdot 15 = \frac{108}{2} \cdot 15 = 54 \cdot 15 = 810$.

4. Вычислим итоговую сумму:
$S = S_2 + S_3 - S_6 = 2430 + 1665 - 810 = 4095 - 810 = 3285$.

Ответ: 3285.

б) Чтобы найти сумму всех трёхзначных чисел, не кратных 7, мы найдем сумму всех трёхзначных чисел ($S_{всех}$) и вычтем из нее сумму всех трёхзначных чисел, которые кратны 7 ($S_7$).

1. Найдем сумму всех трёхзначных чисел ($S_{всех}$):
Трёхзначные числа образуют арифметическую прогрессию от 100 до 999.
Первый член $a_1 = 100$, последний член $a_n = 999$.
Количество членов $n = 999 - 100 + 1 = 900$.
Сумма: $S_{всех} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$.

2. Найдем сумму трёхзначных чисел, кратных 7 ($S_7$):
Эти числа также образуют арифметическую прогрессию.
Первый член: $100 \div 7 \approx 14.28$, значит, первый член это $7 \cdot 15 = 105$. Итак, $b_1 = 105$.
Последний член: $999 \div 7 \approx 142.71$, значит, последний член это $7 \cdot 142 = 994$. Итак, $b_m = 994$.
Количество членов: $m = \frac{994 - 105}{7} + 1 = \frac{889}{7} + 1 = 127 + 1 = 128$.
Сумма: $S_7 = \frac{105 + 994}{2} \cdot 128 = \frac{1099}{2} \cdot 128 = 1099 \cdot 64 = 70336$.

3. Вычислим искомую сумму:
$S = S_{всех} - S_7 = 494550 - 70336 = 424214$.

Ответ: 424214.