Номер 1124, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (1124–1125).

1124. Докажите, что если числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{c+a}$, $\frac{1}{b+a}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

По условию задачи, числа $ \frac{1}{b+c} $, $ \frac{1}{c+a} $, $ \frac{1}{b+a} $ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство трех последовательных членов арифметической прогрессии $x_1, x_2, x_3$ заключается в том, что средний член равен среднему арифметическому двух крайних. Математически это выражается формулой: $2x_2 = x_1 + x_3$.

Применив это свойство к данным в условии числам, мы получаем следующее равенство:$ \frac{2}{c+a} = \frac{1}{b+c} + \frac{1}{b+a} $

Нам нужно доказать, что числа $a^2, b^2, c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии. Это будет верно, если для них выполняется аналогичное свойство, то есть $2b^2 = a^2 + c^2$.

Преобразуем исходное равенство, чтобы проверить, приведет ли оно к требуемому результату. Сначала приведем дроби в правой части к общему знаменателю:$ \frac{2}{c+a} = \frac{(b+a) + (b+c)}{(b+c)(b+a)} $

Упростим числитель в правой части:$ \frac{2}{c+a} = \frac{a+2b+c}{(b+c)(b+a)} $

Теперь воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):$ 2(b+c)(b+a) = (c+a)(a+2b+c) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.Левая часть:$ 2(b^2 + ab + bc + ac) = 2b^2 + 2ab + 2bc + 2ac $Правая часть:$ (c+a)(a+2b+c) = c(a+2b+c) + a(a+2b+c) = ac + 2bc + c^2 + a^2 + 2ab + ac $

Приравняем левую и правую части и приведем подобные слагаемые в правой части:$ 2b^2 + 2ab + 2bc + 2ac = a^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac $

Вычтем из обеих частей равенства одинаковое выражение $2ab + 2bc + 2ac$:$ 2b^2 = a^2 + c^2 $

Мы получили равенство $2b^2 = a^2 + c^2$, которое является характеристическим свойством для чисел $a^2, b^2, c^2$, образующих арифметическую прогрессию. Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.