Номер 1127, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1127. Найдите сумму всех двузначных чисел, не кратных ни 2, ни 3.

Чтобы найти сумму всех двузначных чисел, не кратных ни 2, ни 3, мы используем принцип включений-исключений. Сначала найдем сумму всех двузначных чисел ($S_{всех}$). Затем из нее вычтем сумму чисел, кратных 2 ($S_2$), и сумму чисел, кратных 3 ($S_3$). Поскольку числа, кратные и 2, и 3 (то есть кратные 6), были вычтены дважды, их сумму ($S_6$) необходимо прибавить обратно. Таким образом, искомая сумма $S$ вычисляется по формуле: $S = S_{всех} - S_2 - S_3 + S_6$ или, что то же самое, $S = S_{всех} - (S_2 + S_3 - S_6)$.

1. Найдем сумму всех двузначных чисел. Двузначные числа образуют арифметическую прогрессию от 10 до 99. Первый член прогрессии $a_1 = 10$, последний член $a_n = 99$. Количество членов в этой прогрессии: $n = 99 - 10 + 1 = 90$. Сумма ($S_{всех}$) находится по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: $S_{всех} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 2 ($S_2$). Эти числа образуют арифметическую прогрессию от 10 до 98 с разностью 2. Первый член $a_1 = 10$, последний $a_n = 98$. Количество членов: $n = \frac{98 - 10}{2} + 1 = \frac{88}{2} + 1 = 44 + 1 = 45$. Сумма: $S_2 = \frac{10 + 98}{2} \cdot 45 = \frac{108}{2} \cdot 45 = 54 \cdot 45 = 2430$.

3. Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 3 ($S_3$). Эти числа образуют арифметическую прогрессию от 12 до 99 с разностью 3. Первый член $a_1 = 12$, последний $a_n = 99$. Количество членов: $n = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$. Сумма: $S_3 = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

4. Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 6 ($S_6$). Число, кратное 2 и 3 одновременно, кратно их наименьшему общему кратному, то есть 6. Эти числа образуют арифметическую прогрессию от 12 до 96 с разностью 6. Первый член $a_1 = 12$, последний $a_n = 96$. Количество членов: $n = \frac{96 - 12}{6} + 1 = \frac{84}{6} + 1 = 14 + 1 = 15$. Сумма: $S_6 = \frac{12 + 96}{2} \cdot 15 = \frac{108}{2} \cdot 15 = 54 \cdot 15 = 810$.

5. Теперь вычислим искомую сумму. $S = S_{всех} - (S_2 + S_3 - S_6)$. Подставим найденные значения: $S = 4905 - (2430 + 1665 - 810) = 4905 - (4095 - 810) = 4905 - 3285 = 1620$.

Ответ: 1620.