Номер 1121, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1121. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 3, но не кратных 2.

В задаче требуется найти сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2.Число, которое не делится на 2, является нечётным. Таким образом, нам нужно найти сумму всех нечётных трёхзначных чисел, кратных 3.

Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Найдём её параметры.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее нечётное трёхзначное число, кратное 3. Наименьшее трёхзначное число — 100. Ближайшее к нему число, кратное 3, — это 102. Однако 102 — чётное. Следующее число, кратное 3, — это $102 + 3 = 105$. Оно нечётное, значит, это первый член нашей прогрессии: $a_1 = 105$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее нечётное трёхзначное число, кратное 3. Наибольшее трёхзначное число — 999. Оно делится на 3 (сумма цифр $9+9+9=27$ делится на 3) и является нечётным. Следовательно, это последний член нашей прогрессии: $a_n = 999$.

Разность прогрессии ($d$) — это разница между двумя последовательными нечётными числами, кратными 3. Если одно такое число равно $k$, то следующее будет $k+6$ (поскольку числа, кратные 3, идут с шагом 3: $k, k+3, k+6, ...$; если $k$ нечётное, то $k+3$ будет чётным, а $k+6$ — снова нечётным). Таким образом, разность прогрессии $d = 6$.

Теперь найдём количество членов в этой прогрессии ($n$), используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$999 = 105 + (n-1) \cdot 6$
$894 = (n-1) \cdot 6$
$n-1 = \frac{894}{6} = 149$
$n = 149 + 1 = 150$.
Всего 150 таких чисел.

Наконец, вычислим сумму этих чисел ($S_n$) по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{150} = \frac{105 + 999}{2} \cdot 150 = \frac{1104}{2} \cdot 150 = 552 \cdot 150 = 82800$.

Таким образом, сумма всех трёхзначных чисел, кратных 3, но не кратных 2, равна 82800.
Ответ: 82800.