Номер 1126, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1126. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии

$a_1, a_2, ..., a_n, ...$, если известно, что:

а) $a_2 + a_4 = 16, a_1 \cdot a_5 = 28;$

б) $a_1 \cdot a_{11} = 44, a_2 + a_{10} = 24.$

а) Дано: $a_2 + a_4 = 16$ и $a_1 \cdot a_5 = 28$. Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, выразим члены прогрессии через $a_1$ (первый член) и $d$ (разность): $a_2 = a_1 + d$, $a_4 = a_1 + 3d$, $a_5 = a_1 + 4d$.

Подставим эти выражения в данные уравнения. Из первого уравнения получаем: $(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 16$, что упрощается до $2a_1 + 4d = 16$, или $a_1 + 2d = 8$. Отсюда выразим $a_1 = 8 - 2d$.

Подставим $a_1$ во второе уравнение $a_1 \cdot (a_1 + 4d) = 28$:$(8 - 2d) \cdot ((8 - 2d) + 4d) = 28$, что приводит к $(8 - 2d) \cdot (8 + 2d) = 28$.Используя формулу разности квадратов, имеем: $64 - 4d^2 = 28$. Решим это уравнение: $4d^2 = 36$, $d^2 = 9$. Следовательно, $d = 3$ или $d = -3$.

Для каждого значения $d$ находим соответствующее значение $a_1 = 8 - 2d$:Если $d = 3$, то $a_1 = 8 - 2(3) = 2$.Если $d = -3$, то $a_1 = 8 - 2(-3) = 14$.Таким образом, есть два возможных решения.

Ответ: $a_1 = 2, d = 3$ или $a_1 = 14, d = -3$.

б) Дано: $a_1 \cdot a_{11} = 44$ и $a_2 + a_{10} = 24$. По формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ имеем: $a_2 = a_1 + d$, $a_{10} = a_1 + 9d$, $a_{11} = a_1 + 10d$.

Из второго уравнения: $(a_1 + d) + (a_1 + 9d) = 24$, что упрощается до $2a_1 + 10d = 24$, или $a_1 + 5d = 12$. Отсюда $a_1 = 12 - 5d$.

Подставим $a_1$ в первое уравнение $a_1 \cdot (a_1 + 10d) = 44$:$(12 - 5d) \cdot ((12 - 5d) + 10d) = 44$, что приводит к $(12 - 5d) \cdot (12 + 5d) = 44$.По формуле разности квадратов: $144 - 25d^2 = 44$. Решим уравнение: $25d^2 = 100$, $d^2 = 4$. Следовательно, $d = 2$ или $d = -2$.

Для каждого значения $d$ находим соответствующее значение $a_1 = 12 - 5d$:Если $d = 2$, то $a_1 = 12 - 5(2) = 2$.Если $d = -2$, то $a_1 = 12 - 5(-2) = 22$.Таким образом, есть два возможных решения.

Ответ: $a_1 = 2, d = 2$ или $a_1 = 22, d = -2$.