Номер 1123, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1123. Даны две арифметические прогрессии: $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ и $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

а) $a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n, \dots;$

б) $a_1 - b_1, a_2 - b_2, \dots, a_n - b_n, \dots;$

в) $a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n, \dots;$

г) $|a_1|, |a_2|, \dots, |a_n|, \dots;$

д) $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \dots, \frac{a_n}{b_n}, \dots$ (все $b_i \neq 0$)?

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d_a$, так что $a_n = a_1 + (n-1)d_a$.

Пусть $(b_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $b_1$ и разностью $d_b$, так что $b_n = b_1 + (n-1)d_b$.

Последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым ее членом и предыдущим является постоянной величиной (разностью прогрессии).

а) $a_1 + b_1, a_2 + b_2, ..., a_n + b_n, ...$;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n + b_n$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами этой последовательности:

$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} + b_{n+1}) - (a_n + b_n) = (a_{n+1} - a_n) + (b_{n+1} - b_n)$

По определению арифметической прогрессии, $a_{n+1} - a_n = d_a$ и $b_{n+1} - b_n = d_b$. Таким образом,

$c_{n+1} - c_n = d_a + d_b$

Разность не зависит от $n$ и является константой. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d_a + d_b$.

Ответ: да, является.

б) $a_1 - b_1, a_2 - b_2, ..., a_n - b_n, ...$;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n - b_n$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами этой последовательности:

$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - b_{n+1}) - (a_n - b_n) = (a_{n+1} - a_n) - (b_{n+1} - b_n)$

Подставляя разности прогрессий $(a_n)$ и $(b_n)$, получаем:

$c_{n+1} - c_n = d_a - d_b$

Разность не зависит от $n$ и является константой. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d_a - d_b$.

Ответ: да, является.

в) $a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, ..., a_n \cdot b_n, ...$;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n \cdot b_n$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:

$c_{n+1} - c_n = a_{n+1} \cdot b_{n+1} - a_n \cdot b_n = (a_n + d_a)(b_n + d_b) - a_n b_n$

$= a_n b_n + a_n d_b + d_a b_n + d_a d_b - a_n b_n = a_n d_b + b_n d_a + d_a d_b$

Эта разность зависит от $n$ (поскольку $a_n$ и $b_n$ зависят от $n$), поэтому в общем случае она не является константой. Последовательность будет арифметической прогрессией только в частных случаях, например, если одна из исходных прогрессий является постоянной (т.е. ее разность равна нулю).

Приведем контрпример. Пусть $a_n: 1, 2, 3, ...$ (здесь $a_1=1, d_a=1$) и $b_n: 2, 4, 6, ...$ (здесь $b_1=2, d_b=2$).

Тогда последовательность произведений $(c_n)$ будет:

$c_1 = 1 \cdot 2 = 2$

$c_2 = 2 \cdot 4 = 8$

$c_3 = 3 \cdot 6 = 18$

Найдем разности: $c_2 - c_1 = 8 - 2 = 6$, $c_3 - c_2 = 18 - 8 = 10$. Так как $6 \neq 10$, разность не является постоянной.

Ответ: нет, в общем случае не является.

г) $|a_1|, |a_2|, ..., |a_n|, ...$;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = |a_n|$. В общем случае эта последовательность не является арифметической прогрессией. Это происходит, когда члены прогрессии $(a_n)$ меняют знак.

Приведем контрпример. Пусть $a_n: -3, -1, 1, 3, ...$ (здесь $a_1=-3, d_a=2$). Это арифметическая прогрессия.

Тогда последовательность модулей $(c_n)$ будет:

$c_1 = |-3| = 3$

$c_2 = |-1| = 1$

$c_3 = |1| = 1$

$c_4 = |3| = 3$

Найдем разности: $c_2 - c_1 = 1 - 3 = -2$, $c_3 - c_2 = 1 - 1 = 0$. Так как $-2 \neq 0$, разность не является постоянной.

Эта последовательность будет арифметической, только если все члены $a_n$ имеют одинаковый знак (или равны нулю).

Ответ: нет, в общем случае не является.

д) $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, ..., \frac{a_n}{b_n}, ...$ (все $b_i \neq 0$)?

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = \frac{a_n}{b_n}$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:

$c_{n+1} - c_n = \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} - \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_n+d_a}{b_n+d_b} - \frac{a_n}{b_n} = \frac{(a_n+d_a)b_n - a_n(b_n+d_b)}{b_n(b_n+d_b)} = \frac{d_a b_n - a_n d_b}{b_n(b_n+d_b)}$

Эта разность зависит от $n$, поэтому в общем случае она не является константой.

Приведем контрпример. Пусть $a_n: 1, 2, 3, ...$ ($a_1=1, d_a=1$) и $b_n: 2, 3, 4, ...$ ($b_1=2, d_b=1$).

Тогда последовательность частных $(c_n)$ будет:

$c_1 = \frac{1}{2}$

$c_2 = \frac{2}{3}$

$c_3 = \frac{3}{4}$

Найдем разности: $c_2 - c_1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$, $c_3 - c_2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$. Так как $\frac{1}{6} \neq \frac{1}{12}$, разность не является постоянной.

Ответ: нет, в общем случае не является.