Страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1120. a) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 2 или 3.

б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, не кратных 7.

а) Чтобы найти сумму всех двузначных чисел, кратных 2 или 3, мы воспользуемся принципом включений-исключений. Сначала найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 2 ($S_2$), затем сумму всех двузначных чисел, кратных 3 ($S_3$), и вычтем из их суммы сумму всех двузначных чисел, кратных и 2, и 3, то есть кратных 6 ($S_6$). Искомая сумма $S = S_2 + S_3 - S_6$.
Все эти последовательности являются арифметическими прогрессиями. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.

1. Найдем сумму чисел, кратных 2 ($S_2$):
Первое двузначное число, кратное 2, это $a_1 = 10$. Последнее — $a_n = 98$.
Количество таких чисел: $n = \frac{98 - 10}{2} + 1 = 44 + 1 = 45$.
Сумма: $S_2 = \frac{10 + 98}{2} \cdot 45 = \frac{108}{2} \cdot 45 = 54 \cdot 45 = 2430$.

2. Найдем сумму чисел, кратных 3 ($S_3$):
Первое двузначное число, кратное 3, это $b_1 = 12$. Последнее — $b_m = 99$.
Количество таких чисел: $m = \frac{99 - 12}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$.
Сумма: $S_3 = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

3. Найдем сумму чисел, кратных 6 ($S_6$):
Первое двузначное число, кратное 6, это $c_1 = 12$. Последнее — $c_k = 96$.
Количество таких чисел: $k = \frac{96 - 12}{6} + 1 = 14 + 1 = 15$.
Сумма: $S_6 = \frac{12 + 96}{2} \cdot 15 = \frac{108}{2} \cdot 15 = 54 \cdot 15 = 810$.

4. Вычислим итоговую сумму:
$S = S_2 + S_3 - S_6 = 2430 + 1665 - 810 = 4095 - 810 = 3285$.

Ответ: 3285.

б) Чтобы найти сумму всех трёхзначных чисел, не кратных 7, мы найдем сумму всех трёхзначных чисел ($S_{всех}$) и вычтем из нее сумму всех трёхзначных чисел, которые кратны 7 ($S_7$).

1. Найдем сумму всех трёхзначных чисел ($S_{всех}$):
Трёхзначные числа образуют арифметическую прогрессию от 100 до 999.
Первый член $a_1 = 100$, последний член $a_n = 999$.
Количество членов $n = 999 - 100 + 1 = 900$.
Сумма: $S_{всех} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$.

2. Найдем сумму трёхзначных чисел, кратных 7 ($S_7$):
Эти числа также образуют арифметическую прогрессию.
Первый член: $100 \div 7 \approx 14.28$, значит, первый член это $7 \cdot 15 = 105$. Итак, $b_1 = 105$.
Последний член: $999 \div 7 \approx 142.71$, значит, последний член это $7 \cdot 142 = 994$. Итак, $b_m = 994$.
Количество членов: $m = \frac{994 - 105}{7} + 1 = \frac{889}{7} + 1 = 127 + 1 = 128$.
Сумма: $S_7 = \frac{105 + 994}{2} \cdot 128 = \frac{1099}{2} \cdot 128 = 1099 \cdot 64 = 70336$.

3. Вычислим искомую сумму:
$S = S_{всех} - S_7 = 494550 - 70336 = 424214$.

Ответ: 424214.

1121. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 3, но не кратных 2.

В задаче требуется найти сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2.Число, которое не делится на 2, является нечётным. Таким образом, нам нужно найти сумму всех нечётных трёхзначных чисел, кратных 3.

Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Найдём её параметры.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее нечётное трёхзначное число, кратное 3. Наименьшее трёхзначное число — 100. Ближайшее к нему число, кратное 3, — это 102. Однако 102 — чётное. Следующее число, кратное 3, — это $102 + 3 = 105$. Оно нечётное, значит, это первый член нашей прогрессии: $a_1 = 105$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее нечётное трёхзначное число, кратное 3. Наибольшее трёхзначное число — 999. Оно делится на 3 (сумма цифр $9+9+9=27$ делится на 3) и является нечётным. Следовательно, это последний член нашей прогрессии: $a_n = 999$.

Разность прогрессии ($d$) — это разница между двумя последовательными нечётными числами, кратными 3. Если одно такое число равно $k$, то следующее будет $k+6$ (поскольку числа, кратные 3, идут с шагом 3: $k, k+3, k+6, ...$; если $k$ нечётное, то $k+3$ будет чётным, а $k+6$ — снова нечётным). Таким образом, разность прогрессии $d = 6$.

Теперь найдём количество членов в этой прогрессии ($n$), используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$999 = 105 + (n-1) \cdot 6$
$894 = (n-1) \cdot 6$
$n-1 = \frac{894}{6} = 149$
$n = 149 + 1 = 150$.
Всего 150 таких чисел.

Наконец, вычислим сумму этих чисел ($S_n$) по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{150} = \frac{105 + 999}{2} \cdot 150 = \frac{1104}{2} \cdot 150 = 552 \cdot 150 = 82800$.

Таким образом, сумма всех трёхзначных чисел, кратных 3, но не кратных 2, равна 82800.
Ответ: 82800.

1122. Сумма первых 40 членов арифметической прогрессии равна 340, а сумма первых 39 её членов равна 325. Найдите разность прогрессии.

Обозначим сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии как $S_n$, а $n$-й член как $a_n$. По условию задачи нам дано, что сумма первых 40 членов $S_{40} = 340$, а сумма первых 39 членов $S_{39} = 325$.

Сумма первых 40 членов может быть представлена как сумма первых 39 членов плюс сороковой член ($a_{40}$). Это можно записать в виде формулы: $S_{40} = S_{39} + a_{40}$.

Из этой формулы мы можем выразить и вычислить сороковой член прогрессии:

$a_{40} = S_{40} - S_{39}$

Подставим известные значения:

$a_{40} = 340 - 325 = 15$

Теперь воспользуемся другой формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая связывает сумму с первым и последним членами: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Применим эту формулу для $n=40$:

$S_{40} = \frac{a_1 + a_{40}}{2} \cdot 40$

Подставим известные значения $S_{40} = 340$ и $a_{40} = 15$, чтобы найти первый член прогрессии $a_1$:

$340 = \frac{a_1 + 15}{2} \cdot 40$

Упростим выражение, сократив 40 и 2:

$340 = (a_1 + 15) \cdot 20$

Разделим обе части уравнения на 20:

$17 = a_1 + 15$

Отсюда находим $a_1$:

$a_1 = 17 - 15 = 2$

Теперь, зная первый член ($a_1=2$) и сороковой член ($a_{40}=15$), мы можем найти разность прогрессии $d$. Для этого используем формулу для нахождения $n$-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Применим формулу для $n=40$:

$a_{40} = a_1 + (40-1)d$

Подставим известные значения $a_1$ и $a_{40}$:

$15 = 2 + 39d$

Решим полученное линейное уравнение относительно $d$:

$15 - 2 = 39d$

$13 = 39d$

$d = \frac{13}{39} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

1123. Даны две арифметические прогрессии: $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ и $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

а) $a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n, \dots;$

б) $a_1 - b_1, a_2 - b_2, \dots, a_n - b_n, \dots;$

в) $a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n, \dots;$

г) $|a_1|, |a_2|, \dots, |a_n|, \dots;$

д) $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \dots, \frac{a_n}{b_n}, \dots$ (все $b_i \neq 0$)?

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d_a$, так что $a_n = a_1 + (n-1)d_a$.

Пусть $(b_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $b_1$ и разностью $d_b$, так что $b_n = b_1 + (n-1)d_b$.

Последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым ее членом и предыдущим является постоянной величиной (разностью прогрессии).

а) $a_1 + b_1, a_2 + b_2, ..., a_n + b_n, ...$;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n + b_n$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами этой последовательности:

$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} + b_{n+1}) - (a_n + b_n) = (a_{n+1} - a_n) + (b_{n+1} - b_n)$

По определению арифметической прогрессии, $a_{n+1} - a_n = d_a$ и $b_{n+1} - b_n = d_b$. Таким образом,

$c_{n+1} - c_n = d_a + d_b$

Разность не зависит от $n$ и является константой. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d_a + d_b$.

Ответ: да, является.

б) $a_1 - b_1, a_2 - b_2, ..., a_n - b_n, ...$;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n - b_n$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами этой последовательности:

$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - b_{n+1}) - (a_n - b_n) = (a_{n+1} - a_n) - (b_{n+1} - b_n)$

Подставляя разности прогрессий $(a_n)$ и $(b_n)$, получаем:

$c_{n+1} - c_n = d_a - d_b$

Разность не зависит от $n$ и является константой. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d_a - d_b$.

Ответ: да, является.

в) $a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, ..., a_n \cdot b_n, ...$;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n \cdot b_n$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:

$c_{n+1} - c_n = a_{n+1} \cdot b_{n+1} - a_n \cdot b_n = (a_n + d_a)(b_n + d_b) - a_n b_n$

$= a_n b_n + a_n d_b + d_a b_n + d_a d_b - a_n b_n = a_n d_b + b_n d_a + d_a d_b$

Эта разность зависит от $n$ (поскольку $a_n$ и $b_n$ зависят от $n$), поэтому в общем случае она не является константой. Последовательность будет арифметической прогрессией только в частных случаях, например, если одна из исходных прогрессий является постоянной (т.е. ее разность равна нулю).

Приведем контрпример. Пусть $a_n: 1, 2, 3, ...$ (здесь $a_1=1, d_a=1$) и $b_n: 2, 4, 6, ...$ (здесь $b_1=2, d_b=2$).

Тогда последовательность произведений $(c_n)$ будет:

$c_1 = 1 \cdot 2 = 2$

$c_2 = 2 \cdot 4 = 8$

$c_3 = 3 \cdot 6 = 18$

Найдем разности: $c_2 - c_1 = 8 - 2 = 6$, $c_3 - c_2 = 18 - 8 = 10$. Так как $6 \neq 10$, разность не является постоянной.

Ответ: нет, в общем случае не является.

г) $|a_1|, |a_2|, ..., |a_n|, ...$;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = |a_n|$. В общем случае эта последовательность не является арифметической прогрессией. Это происходит, когда члены прогрессии $(a_n)$ меняют знак.

Приведем контрпример. Пусть $a_n: -3, -1, 1, 3, ...$ (здесь $a_1=-3, d_a=2$). Это арифметическая прогрессия.

Тогда последовательность модулей $(c_n)$ будет:

$c_1 = |-3| = 3$

$c_2 = |-1| = 1$

$c_3 = |1| = 1$

$c_4 = |3| = 3$

Найдем разности: $c_2 - c_1 = 1 - 3 = -2$, $c_3 - c_2 = 1 - 1 = 0$. Так как $-2 \neq 0$, разность не является постоянной.

Эта последовательность будет арифметической, только если все члены $a_n$ имеют одинаковый знак (или равны нулю).

Ответ: нет, в общем случае не является.

д) $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, ..., \frac{a_n}{b_n}, ...$ (все $b_i \neq 0$)?

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = \frac{a_n}{b_n}$. Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:

$c_{n+1} - c_n = \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} - \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_n+d_a}{b_n+d_b} - \frac{a_n}{b_n} = \frac{(a_n+d_a)b_n - a_n(b_n+d_b)}{b_n(b_n+d_b)} = \frac{d_a b_n - a_n d_b}{b_n(b_n+d_b)}$

Эта разность зависит от $n$, поэтому в общем случае она не является константой.

Приведем контрпример. Пусть $a_n: 1, 2, 3, ...$ ($a_1=1, d_a=1$) и $b_n: 2, 3, 4, ...$ ($b_1=2, d_b=1$).

Тогда последовательность частных $(c_n)$ будет:

$c_1 = \frac{1}{2}$

$c_2 = \frac{2}{3}$

$c_3 = \frac{3}{4}$

Найдем разности: $c_2 - c_1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$, $c_3 - c_2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$. Так как $\frac{1}{6} \neq \frac{1}{12}$, разность не является постоянной.

Ответ: нет, в общем случае не является.

Доказываем (1124–1125).

1124. Докажите, что если числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{c+a}$, $\frac{1}{b+a}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

По условию задачи, числа $ \frac{1}{b+c} $, $ \frac{1}{c+a} $, $ \frac{1}{b+a} $ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство трех последовательных членов арифметической прогрессии $x_1, x_2, x_3$ заключается в том, что средний член равен среднему арифметическому двух крайних. Математически это выражается формулой: $2x_2 = x_1 + x_3$.

Применив это свойство к данным в условии числам, мы получаем следующее равенство:$ \frac{2}{c+a} = \frac{1}{b+c} + \frac{1}{b+a} $

Нам нужно доказать, что числа $a^2, b^2, c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии. Это будет верно, если для них выполняется аналогичное свойство, то есть $2b^2 = a^2 + c^2$.

Преобразуем исходное равенство, чтобы проверить, приведет ли оно к требуемому результату. Сначала приведем дроби в правой части к общему знаменателю:$ \frac{2}{c+a} = \frac{(b+a) + (b+c)}{(b+c)(b+a)} $

Упростим числитель в правой части:$ \frac{2}{c+a} = \frac{a+2b+c}{(b+c)(b+a)} $

Теперь воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):$ 2(b+c)(b+a) = (c+a)(a+2b+c) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.Левая часть:$ 2(b^2 + ab + bc + ac) = 2b^2 + 2ab + 2bc + 2ac $Правая часть:$ (c+a)(a+2b+c) = c(a+2b+c) + a(a+2b+c) = ac + 2bc + c^2 + a^2 + 2ab + ac $

Приравняем левую и правую части и приведем подобные слагаемые в правой части:$ 2b^2 + 2ab + 2bc + 2ac = a^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac $

Вычтем из обеих частей равенства одинаковое выражение $2ab + 2bc + 2ac$:$ 2b^2 = a^2 + c^2 $

Мы получили равенство $2b^2 = a^2 + c^2$, которое является характеристическим свойством для чисел $a^2, b^2, c^2$, образующих арифметическую прогрессию. Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1125. Числа $a, b, c$ и числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ являются последовательными членами арифметических прогрессий. Докажите, что $a=b=c$.

По условию, числа $a, b, c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Для любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов. Следовательно, для $b$ выполняется равенство:
$b = \frac{a+c}{2}$
Умножив обе части на 2, получим:
$2b = a + c$ (1)

Также по условию, числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Заметим, что из этого следует, что $a, b, c$ не равны нулю. Применяя то же свойство арифметической прогрессии, получаем:
$\frac{1}{b} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{c}}{2}$
Преобразуем правую часть уравнения:
$\frac{1}{b} = \frac{\frac{c+a}{ac}}{2} = \frac{a+c}{2ac}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя переменными. Подставим выражение для $a+c$ из уравнения (1) в уравнение (2):
$\frac{1}{b} = \frac{2b}{2ac}$
$\frac{1}{b} = \frac{b}{ac}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$b^2 = ac$ (3)

Теперь вернемся к уравнению (1) и выразим из него $c$:
$c = 2b - a$
Подставим это выражение для $c$ в уравнение (3):
$b^2 = a(2b - a)$
$b^2 = 2ab - a^2$
Перенесем все члены в левую часть:
$a^2 - 2ab + b^2 = 0$
Это формула квадрата разности:
$(a - b)^2 = 0$
Отсюда следует, что $a - b = 0$, то есть $a = b$.

Теперь, зная, что $a=b$, подставим это в уравнение (1):
$2b = a + c$
$2b = b + c$
$c = 2b - b$
$c = b$

Таким образом, мы получили, что $a=b$ и $c=b$. Следовательно, все три числа равны: $a=b=c$, что и требовалось доказать.

Ответ:
Из того, что $a, b, c$ — последовательные члены арифметической прогрессии, следует $b = \frac{a+c}{2}$, или $2b = a+c$.
Из того, что $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ — последовательные члены арифметической прогрессии, следует $\frac{1}{b} = \frac{1/a + 1/c}{2}$, что преобразуется к виду $\frac{1}{b} = \frac{a+c}{2ac}$.
Подставляя $a+c = 2b$ во второе равенство, получаем $\frac{1}{b} = \frac{2b}{2ac}$, откуда следует $b^2=ac$.
Мы получили систему уравнений:
$\begin{cases} a+c=2b \\ ac=b^2 \end{cases}$
Подставляя $c=2b-a$ из первого уравнения во второе, имеем $a(2b-a)=b^2$, что равносильно $a^2-2ab+b^2=0$, или $(a-b)^2=0$. Отсюда $a=b$.
Подставляя $a=b$ в $a+c=2b$, получаем $b+c=2b$, откуда $c=b$.
Таким образом, $a=b=c$.

1126. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии

$a_1, a_2, ..., a_n, ...$, если известно, что:

а) $a_2 + a_4 = 16, a_1 \cdot a_5 = 28;$

б) $a_1 \cdot a_{11} = 44, a_2 + a_{10} = 24.$

а) Дано: $a_2 + a_4 = 16$ и $a_1 \cdot a_5 = 28$. Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, выразим члены прогрессии через $a_1$ (первый член) и $d$ (разность): $a_2 = a_1 + d$, $a_4 = a_1 + 3d$, $a_5 = a_1 + 4d$.

Подставим эти выражения в данные уравнения. Из первого уравнения получаем: $(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 16$, что упрощается до $2a_1 + 4d = 16$, или $a_1 + 2d = 8$. Отсюда выразим $a_1 = 8 - 2d$.

Подставим $a_1$ во второе уравнение $a_1 \cdot (a_1 + 4d) = 28$:$(8 - 2d) \cdot ((8 - 2d) + 4d) = 28$, что приводит к $(8 - 2d) \cdot (8 + 2d) = 28$.Используя формулу разности квадратов, имеем: $64 - 4d^2 = 28$. Решим это уравнение: $4d^2 = 36$, $d^2 = 9$. Следовательно, $d = 3$ или $d = -3$.

Для каждого значения $d$ находим соответствующее значение $a_1 = 8 - 2d$:Если $d = 3$, то $a_1 = 8 - 2(3) = 2$.Если $d = -3$, то $a_1 = 8 - 2(-3) = 14$.Таким образом, есть два возможных решения.

Ответ: $a_1 = 2, d = 3$ или $a_1 = 14, d = -3$.

б) Дано: $a_1 \cdot a_{11} = 44$ и $a_2 + a_{10} = 24$. По формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ имеем: $a_2 = a_1 + d$, $a_{10} = a_1 + 9d$, $a_{11} = a_1 + 10d$.

Из второго уравнения: $(a_1 + d) + (a_1 + 9d) = 24$, что упрощается до $2a_1 + 10d = 24$, или $a_1 + 5d = 12$. Отсюда $a_1 = 12 - 5d$.

Подставим $a_1$ в первое уравнение $a_1 \cdot (a_1 + 10d) = 44$:$(12 - 5d) \cdot ((12 - 5d) + 10d) = 44$, что приводит к $(12 - 5d) \cdot (12 + 5d) = 44$.По формуле разности квадратов: $144 - 25d^2 = 44$. Решим уравнение: $25d^2 = 100$, $d^2 = 4$. Следовательно, $d = 2$ или $d = -2$.

Для каждого значения $d$ находим соответствующее значение $a_1 = 12 - 5d$:Если $d = 2$, то $a_1 = 12 - 5(2) = 2$.Если $d = -2$, то $a_1 = 12 - 5(-2) = 22$.Таким образом, есть два возможных решения.

Ответ: $a_1 = 2, d = 2$ или $a_1 = 22, d = -2$.

1127. Найдите сумму всех двузначных чисел, не кратных ни 2, ни 3.

Чтобы найти сумму всех двузначных чисел, не кратных ни 2, ни 3, мы используем принцип включений-исключений. Сначала найдем сумму всех двузначных чисел ($S_{всех}$). Затем из нее вычтем сумму чисел, кратных 2 ($S_2$), и сумму чисел, кратных 3 ($S_3$). Поскольку числа, кратные и 2, и 3 (то есть кратные 6), были вычтены дважды, их сумму ($S_6$) необходимо прибавить обратно. Таким образом, искомая сумма $S$ вычисляется по формуле: $S = S_{всех} - S_2 - S_3 + S_6$ или, что то же самое, $S = S_{всех} - (S_2 + S_3 - S_6)$.

1. Найдем сумму всех двузначных чисел. Двузначные числа образуют арифметическую прогрессию от 10 до 99. Первый член прогрессии $a_1 = 10$, последний член $a_n = 99$. Количество членов в этой прогрессии: $n = 99 - 10 + 1 = 90$. Сумма ($S_{всех}$) находится по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: $S_{всех} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 2 ($S_2$). Эти числа образуют арифметическую прогрессию от 10 до 98 с разностью 2. Первый член $a_1 = 10$, последний $a_n = 98$. Количество членов: $n = \frac{98 - 10}{2} + 1 = \frac{88}{2} + 1 = 44 + 1 = 45$. Сумма: $S_2 = \frac{10 + 98}{2} \cdot 45 = \frac{108}{2} \cdot 45 = 54 \cdot 45 = 2430$.

3. Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 3 ($S_3$). Эти числа образуют арифметическую прогрессию от 12 до 99 с разностью 3. Первый член $a_1 = 12$, последний $a_n = 99$. Количество членов: $n = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$. Сумма: $S_3 = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

4. Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 6 ($S_6$). Число, кратное 2 и 3 одновременно, кратно их наименьшему общему кратному, то есть 6. Эти числа образуют арифметическую прогрессию от 12 до 96 с разностью 6. Первый член $a_1 = 12$, последний $a_n = 96$. Количество членов: $n = \frac{96 - 12}{6} + 1 = \frac{84}{6} + 1 = 14 + 1 = 15$. Сумма: $S_6 = \frac{12 + 96}{2} \cdot 15 = \frac{108}{2} \cdot 15 = 54 \cdot 15 = 810$.

5. Теперь вычислим искомую сумму. $S = S_{всех} - (S_2 + S_3 - S_6)$. Подставим найденные значения: $S = 4905 - (2430 + 1665 - 810) = 4905 - (4095 - 810) = 4905 - 3285 = 1620$.

Ответ: 1620.

1128. Запишите первые 11 членов геометрической прогрессии, если известно, что её знаменатель равен 1,5, а шестой член равен 2.

Пусть искомая геометрическая прогрессия обозначается как $b_n$. Согласно условию задачи, знаменатель прогрессии $q = 1,5$, а шестой член $b_6 = 2$. Наша цель — найти первые 11 членов этой прогрессии: $b_1, b_2, \dots, b_{11}$.

Для решения задачи будем использовать свойство геометрической прогрессии, согласно которому каждый следующий член можно найти, умножив предыдущий на знаменатель $q$, а каждый предыдущий член — разделив последующий на $q$.

Поскольку нам известен шестой член $b_6 = 2$, мы можем найти все последующие члены до одиннадцатого включительно, последовательно умножая на $q=1,5$.

Вычисление членов с $b_7$ по $b_{11}$:
$b_7 = b_6 \cdot q = 2 \cdot 1,5 = 3$
$b_8 = b_7 \cdot q = 3 \cdot 1,5 = 4,5$
$b_9 = b_8 \cdot q = 4,5 \cdot 1,5 = 6,75$
$b_{10} = b_9 \cdot q = 6,75 \cdot 1,5 = 10,125$
$b_{11} = b_{10} \cdot q = 10,125 \cdot 1,5 = 15,1875$

Теперь найдем члены с первого по пятый, последовательно деля на знаменатель $q = 1,5$. Для удобства вычислений представим $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$. Деление на $\frac{3}{2}$ эквивалентно умножению на $\frac{2}{3}$.

Вычисление членов с $b_1$ по $b_5$:
$b_5 = \frac{b_6}{q} = \frac{2}{1,5} = 2 : \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
$b_4 = \frac{b_5}{q} = \frac{4}{3} : \frac{3}{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$
$b_3 = \frac{b_4}{q} = \frac{8}{9} : \frac{3}{2} = \frac{8}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{27}$
$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{16}{27} : \frac{3}{2} = \frac{16}{27} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{81}$
$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{32}{81} : \frac{3}{2} = \frac{32}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{64}{243}$

Теперь запишем все найденные члены в одну последовательность.

Ответ: Первые 11 членов геометрической прогрессии: $\frac{64}{243}$; $\frac{32}{81}$; $\frac{16}{27}$; $\frac{8}{9}$; $\frac{4}{3}$; $2$; $3$; $4,5$; $6,75$; $10,125$; $15,1875$.

1129. Определите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен $4$, а восьмой член равен $256$.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ , где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — порядковый номер члена.

По условию задачи нам даны:
знаменатель прогрессии $q = 4$;
восьмой член прогрессии $b_8 = 256$.

Подставим эти значения в формулу для n = 8:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$
$256 = b_1 \cdot 4^7$

Из этого уравнения выразим искомый первый член $b_1$:
$b_1 = \frac{256}{4^7}$

Чтобы упростить вычисления, представим число 256 как степень числа 4. Мы знаем, что $4^4 = 256$. Подставим это в наше выражение:
$b_1 = \frac{4^4}{4^7}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим:
$b_1 = 4^{4-7} = 4^{-3}$

Вычислим окончательное значение:
$b_1 = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$

Ответ: $\frac{1}{64}$

1130. Первый член геометрической прогрессии равен 2058, а четвёртый член равен 6. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — это первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Первый член прогрессии $b_1 = 2058$.
Четвёртый член прогрессии $b_4 = 6$.

Используем формулу для четвёртого члена ($n=4$), подставив в неё известные значения:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$6 = 2058 \cdot q^3$

Теперь необходимо решить полученное уравнение, чтобы найти знаменатель $q$.
Выразим $q^3$:
$q^3 = \frac{6}{2058}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 6:
$2058 \div 6 = 343$
Таким образом, мы получаем:
$q^3 = \frac{1}{343}$

Чтобы найти значение $q$, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{343}}$
Так как $\sqrt[3]{1} = 1$ и $\sqrt[3]{343} = 7$ (поскольку $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$), то:
$q = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

1131. Между числами 1 и 14 641 найдите три числа, которые вместе с заданными числами являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$. Согласно условию, нам известны первый и последний члены последовательности, а между ними находятся еще три члена. Таким образом, мы имеем дело с пятью последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть первый член прогрессии $b_1 = 1$, а пятый член $b_5 = 14 641$. Нам необходимо найти второй, третий и четвертый члены этой прогрессии, то есть $b_2, b_3, b_4$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Воспользуемся этой формулой для пятого члена прогрессии:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Теперь подставим известные нам значения $b_1$ и $b_5$:
$14 641 = 1 \cdot q^4$
$q^4 = 14 641$

Чтобы найти знаменатель $q$, необходимо извлечь корень четвертой степени из 14 641. Можно заметить, что $10^4 = 10 000$, а $20^4 = 160 000$, значит, искомое число находится между 10 и 20. Проверим число 11:
$11^2 = 121$
$11^4 = (11^2)^2 = 121^2 = 14 641$

Итак, мы получили уравнение $q^4 = 11^4$. Это уравнение имеет два действительных корня: $q = 11$ и $q = -11$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: знаменатель прогрессии $q = 11$

Находим искомые три числа:
$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot 11 = 11$
$b_3 = b_2 \cdot q = 11 \cdot 11 = 121$
$b_4 = b_3 \cdot q = 121 \cdot 11 = 1331$
В этом случае искомые числа: 11, 121, 1331.

Случай 2: знаменатель прогрессии $q = -11$

Находим искомые три числа:
$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot (-11) = -11$
$b_3 = b_2 \cdot q = -11 \cdot (-11) = 121$
$b_4 = b_3 \cdot q = 121 \cdot (-11) = -1331$
В этом случае искомые числа: -11, 121, -1331.

Оба набора чисел являются решением задачи.

Ответ: 11, 121, 1331 или -11, 121, -1331.