Страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1186. В нашем классе 20 учащихся любят либо физику, либо математику, либо оба эти предмета. Среди любителей физики 50% любят математику, а среди любителей математики 25% любят физику. Сколько учащихся нашего класса любят и физику, и математику?

Для решения задачи введем следующие обозначения, используя теорию множеств:
Пусть $F$ – это множество учащихся, которые любят физику, а $M$ – множество учащихся, которые любят математику.
Тогда $|F|$ – количество учащихся, любящих физику, $|M|$ – количество любящих математику, $|F \cap M|$ – количество учащихся, любящих и физику, и математику (пересечение множеств), а $|F \cup M|$ – количество учащихся, любящих хотя бы один из этих предметов (объединение множеств).

Исходя из условий задачи, мы можем сформулировать следующие утверждения:
1. В классе 20 учащихся любят либо физику, либо математику, либо оба эти предмета. Это означает, что размер объединения множеств равен 20: $|F \cup M| = 20$.
2. Среди любителей физики 50% любят математику. Это значит, что количество учеников, любящих оба предмета, составляет половину от всех любителей физики: $|F \cap M| = 0.5 \cdot |F|$.
3. Среди любителей математики 25% любят физику. Аналогично, количество учеников, любящих оба предмета, составляет четверть от всех любителей математики: $|F \cap M| = 0.25 \cdot |M|$.

Из второго и третьего утверждений выразим количество любителей физики $|F|$ и количество любителей математики $|M|$ через количество тех, кто любит оба предмета $|F \cap M|$:
Из $|F \cap M| = 0.5 \cdot |F|$ следует, что $|F| = \frac{|F \cap M|}{0.5} = 2 \cdot |F \cap M|$.
Из $|F \cap M| = 0.25 \cdot |M|$ следует, что $|M| = \frac{|F \cap M|}{0.25} = 4 \cdot |F \cap M|$.

Теперь воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств:
$|F \cup M| = |F| + |M| - |F \cap M|$
Подставим в эту формулу известные нам значения и полученные выражения:
$20 = (2 \cdot |F \cap M|) + (4 \cdot |F \cap M|) - |F \cap M|$
Теперь решим это уравнение относительно $|F \cap M|$:
$20 = (2 + 4 - 1) \cdot |F \cap M|$
$20 = 5 \cdot |F \cap M|$
$|F \cap M| = \frac{20}{5} = 4$

Таким образом, количество учащихся, которые любят и физику, и математику, равно 4.
Ответ: 4.

1187. Имеется 7 телефонов, и каждый из них должен быть соединён только с тремя другими. Можно ли это сделать?

Для решения этой задачи воспользуемся методами теории графов. Представим телефоны как вершины графа, а соединения между ними — как рёбра.

По условию у нас есть 7 телефонов, то есть 7 вершин в графе ($n = 7$). Каждый телефон должен быть соединён ровно с тремя другими. Это означает, что из каждой вершины должно выходить ровно три ребра, то есть степень каждой вершины графа должна быть равна 3.

В теории графов есть фундаментальное свойство, известное как лемма о рукопожатиях. Она утверждает, что сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер в нём. Математически это выражается так: $\sum \deg(v) = 2E$ где $\deg(v)$ — степень вершины $v$, а $E$ — общее число рёбер в графе.

Давайте вычислим сумму степеней вершин для нашего случая. У нас 7 вершин, и степень каждой из них равна 3. Сумма степеней = $7 \times 3 = 21$.

Согласно лемме о рукопожатиях, эта сумма должна быть равна $2E$. Таким образом, мы получаем уравнение: $2E = 21$.

Из этого уравнения следует, что количество рёбер $E$ должно быть равно $21 / 2 = 10.5$. Однако количество рёбер в графе по определению может быть только целым числом. Невозможно иметь половину ребра.

Другое следствие из леммы о рукопожатиях заключается в том, что в любом графе количество вершин с нечётной степенью должно быть чётным. В нашей задаче все 7 вершин должны иметь нечётную степень (степень 3). Число 7 — нечётное, что противоречит этому свойству.

Таким образом, создать такую схему соединений невозможно.

Ответ: Нет, это сделать невозможно.

1188. В чемпионате области по футболу участвует 30 команд. Сколько игр необходимо сыграть, чтобы каждая команда встретилась с каждой по одному разу?

Чтобы определить общее количество игр, необходимое для того, чтобы каждая из 30 команд сыграла с каждой другой командой ровно один раз, можно применить логические рассуждения или формулу из комбинаторики.

Способ 1: Логический подсчет

Каждая из 30 команд должна сыграть со всеми остальными. Для одной команды это $30 - 1 = 29$ игр. Если мы умножим количество команд на число игр для каждой из них, то получим $30 \times 29 = 870$.

Однако при таком подходе каждая игра будет посчитана дважды. Например, игра между командой А и командой Б будет учтена в списке игр для команды А и в списке игр для команды Б. Поскольку каждая игра проводится между двумя командами, для получения истинного количества игр результат нужно разделить на 2.

Количество игр = $ \frac{30 \times 29}{2} = \frac{870}{2} = 435 $.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Данная задача сводится к нахождению количества уникальных пар, которые можно составить из 30 команд. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний, так как порядок команд в паре (кто хозяин, а кто гость) не имеет значения для подсчета общего количества игр.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом: $ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $

В нашем случае общее количество команд $n = 30$, а в каждой игре участвуют $k = 2$ команды. Подставляем эти значения в формулу: $ C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{28! \cdot 29 \cdot 30}{2 \cdot 1 \cdot 28!} = \frac{29 \cdot 30}{2} = 435 $.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 435

1189. Два каменщика выкладывают стену за 3 дня. За сколько дней выполнят эту работу три каменщика, если производительность труда у всех рабочих одинаковая?

Эта задача на обратную пропорциональность. Это означает, что при увеличении одной величины (количества каменщиков) вторая величина (время выполнения работы) уменьшается во столько же раз, при условии, что объем работы и производительность каждого работника не меняются.

Решить задачу можно несколькими способами.

Способ 1: Расчет через общий объем работы

1. Сначала найдем общий объем работы в "человеко-днях". Для этого умножим количество каменщиков на количество дней, которое им потребовалось для завершения работы.

Объем работы = $2 \text{ каменщика} \times 3 \text{ дня} = 6$ человеко-дней.

2. Теперь этот же объем работы (6 человеко-дней) должны выполнить три каменщика. Чтобы найти необходимое время, нужно разделить общий объем работы на новое количество каменщиков.

Время = $\frac{6 \text{ человеко-дней}}{3 \text{ каменщика}} = 2$ дня.

Ответ: 2 дня.

Способ 2: Использование пропорции

1. Пусть $x$ — это количество дней, за которое три каменщика выполнят работу. Составим краткую запись условия:
2 каменщика — 3 дня
3 каменщика — $x$ дней

2. Поскольку зависимость между количеством каменщиков и временем выполнения работы обратная, мы можем составить пропорцию. Отношение числа каменщиков в первом случае ко второму будет равно обратному отношению времени, то есть времени во втором случае к первому.

$\frac{2}{3} = \frac{x}{3}$

3. Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3 \times x = 2 \times 3$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

Следовательно, трем каменщикам потребуется 2 дня для выполнения этой работы.

Ответ: 2 дня.

1190. Диаметр шкива электромотора, делающего 1200 оборотов в минуту, равен 180 мм. Как надо изменить диаметр шкива, чтобы при уменьшении числа оборотов до 1080 в минуту скорость движения приводного ремня не изменилась?

Для неизменной скорости движения ремня:$D_1 n_1 = D_2 n_2$

Скорость движения приводного ремня $v$ прямо пропорциональна диаметру шкива $d$ и числу его оборотов в минуту $n$. Это можно выразить формулой, где скорость ремня равна длине окружности шкива ($L = \pi d$), умноженной на частоту вращения $n$:
$v = \pi \cdot d \cdot n$

В задаче требуется, чтобы скорость ремня оставалась неизменной при изменении числа оборотов. Обозначим начальные параметры с индексом 1, а новые — с индексом 2. Условие постоянства скорости ($v_1 = v_2$) можно записать так:
$\pi \cdot d_1 \cdot n_1 = \pi \cdot d_2 \cdot n_2$

Сократив $\pi$ в обеих частях уравнения, получим соотношение, показывающее обратную пропорциональность между диаметром шкива и числом оборотов при постоянной линейной скорости ремня:
$d_1 \cdot n_1 = d_2 \cdot n_2$

Из этого соотношения выразим новый диаметр шкива $d_2$:
$d_2 = d_1 \cdot \frac{n_1}{n_2}$

Подставим в формулу данные из условия задачи:
$d_1 = 180$ мм (начальный диаметр)
$n_1 = 1200$ об/мин (начальное число оборотов)
$n_2 = 1080$ об/мин (новое число оборотов)

Вычислим значение нового диаметра $d_2$:
$d_2 = 180 \text{ мм} \cdot \frac{1200 \text{ об/мин}}{1080 \text{ об/мин}} = 180 \cdot \frac{120}{108} = 180 \cdot \frac{10}{9} = 20 \cdot 10 = 200$ мм.

Новый диаметр шкива должен быть равен 200 мм. Чтобы найти, как нужно изменить первоначальный диаметр, вычислим разницу между новым и старым значениями:
$\Delta d = d_2 - d_1 = 200 \text{ мм} - 180 \text{ мм} = 20$ мм.

Так как разница положительная, диаметр шкива необходимо увеличить.
Ответ: Диаметр шкива надо увеличить на 20 мм.

1191. Два шкива соединены ременной передачей. Выразите формулой зависимость между длинами их окружностей $C_1$ и $C_2$ и числом оборотов $n_1$ и $n_2$, которые делают шкивы в единицу времени. Выразите каждую из четырёх величин через остальные три.

Пусть $C_1$ и $C_2$ — это длины окружностей двух шкивов, а $n_1$ и $n_2$ — число оборотов, которое каждый шкив совершает в единицу времени (частота вращения).

Когда два шкива соединены ременной передачей, линейная скорость точек на их ободах одинакова и равна скорости движения ремня (при условии, что ремень не проскальзывает).

Линейная скорость точки на ободе шкива ($v$) равна произведению длины окружности ($C$) на число оборотов в единицу времени ($n$).

Для первого шкива: $v_1 = C_1 \cdot n_1$.

Для второго шкива: $v_2 = C_2 \cdot n_2$.

Поскольку $v_1 = v_2$, мы можем записать основное равенство, связывающее эти четыре величины.

Формула зависимости между длинами окружностей $C_1$, $C_2$ и числом оборотов $n_1$, $n_2$

Исходя из равенства линейных скоростей, получаем следующую формулу: $C_1 \cdot n_1 = C_2 \cdot n_2$

Ответ: $C_1 n_1 = C_2 n_2$

Выражение каждой из четырёх величин через остальные три

Из основного соотношения $C_1 n_1 = C_2 n_2$ можно выразить каждую из переменных:

1. Чтобы выразить длину окружности первого шкива $C_1$, разделим обе части равенства на $n_1$: $C_1 = \frac{C_2 n_2}{n_1}$

Ответ: $C_1 = \frac{C_2 n_2}{n_1}$

2. Чтобы выразить длину окружности второго шкива $C_2$, разделим обе части равенства на $n_2$: $C_2 = \frac{C_1 n_1}{n_2}$

Ответ: $C_2 = \frac{C_1 n_1}{n_2}$

3. Чтобы выразить число оборотов первого шкива $n_1$, разделим обе части равенства на $C_1$: $n_1 = \frac{C_2 n_2}{C_1}$

Ответ: $n_1 = \frac{C_2 n_2}{C_1}$

4. Чтобы выразить число оборотов второго шкива $n_2$, разделим обе части равенства на $C_2$: $n_2 = \frac{C_1 n_1}{C_2}$

Ответ: $n_2 = \frac{C_1 n_1}{C_2}$

1192. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Верёвкой длиною 5 аршин связали 100 копий. Спрашивается, сколько таких же копий можно связать другой верёвкой длиною $7\frac{1}{2}$ аршина (предполагается, что пучки копий обвязывают верёвкой по окружности).

Для решения этой задачи предположим, что количество копий, которое можно связать верёвкой, пропорционально площади поперечного сечения пучка, который эта верёвка обвязывает.

Обозначим:

• $L_1$ — длина первой верёвки.
• $N_1$ — количество копий, связанных первой верёвкой.
• $L_2$ — длина второй верёвки.
• $N_2$ — количество копий, которые можно связать второй верёвкой.

По условию:

$L_1 = 5$ аршин
$N_1 = 100$ копий
$L_2 = 7 \frac{1}{2} = 7.5$ аршина

Длина верёвки представляет собой длину окружности поперечного сечения пучка копий. Пусть $C$ — длина окружности, а $S$ — её площадь. Связь между ними выражается следующими формулами:

$C = 2 \pi R$ (где $R$ — радиус круга)

$S = \pi R^2$

Из первой формулы выразим радиус $R = \frac{C}{2\pi}$ и подставим его во вторую формулу, чтобы связать площадь с длиной окружности:

$S = \pi (\frac{C}{2\pi})^2 = \pi \frac{C^2}{4\pi^2} = \frac{C^2}{4\pi}$

Из этой формулы видно, что площадь сечения $S$ пропорциональна квадрату длины окружности $C$ (а значит, и квадрату длины верёвки $L$, так как $L=C$).

Поскольку количество копий $N$ пропорционально площади сечения $S$, то оно также пропорционально квадрату длины верёвки $L$:

$N \propto S \propto L^2$

Следовательно, мы можем составить пропорцию:

$\frac{N_2}{N_1} = \frac{L_2^2}{L_1^2} = (\frac{L_2}{L_1})^2$

Теперь мы можем найти $N_2$, подставив известные значения:

$N_2 = N_1 \cdot (\frac{L_2}{L_1})^2 = 100 \cdot (\frac{7.5}{5})^2$

Выполним вычисления:

$\frac{7.5}{5} = 1.5$

$N_2 = 100 \cdot (1.5)^2 = 100 \cdot 2.25 = 225$

Таким образом, второй верёвкой можно связать 225 копий.

Ответ: 225.

1193. Могут ли три человека преодолеть расстояние 36 км не более чем за 6 ч, если скорость пешехода равна 5 км/ч, но у них имеется велосипед (рассчитанный только на одного человека), на котором можно передвигаться со скоростью 15 км/ч? Если могут, то покажите как; если нет, то объясните почему.

Для решения этой задачи необходимо найти оптимальную стратегию передвижения, при которой все три человека прибудут в конечный пункт одновременно. Если кто-то прибудет раньше, он мог бы помочь остальным (например, вернувшись с велосипедом), что сократило бы общее время. Поэтому будем исходить из того, что все трое прибывают в пункт назначения за одно и то же время $T$.

Дано:

• Расстояние $S = 36$ км.
• Скорость пешехода $V_п = 5$ км/ч.
• Скорость велосипедиста $V_в = 15$ км/ч.
• Требуемое время $T \le 6$ ч.

Предположим, что они могут преодолеть расстояние за $T = 6$ часов.

Пусть каждый из троих человек часть пути идет пешком, а часть едет на велосипеде. Обозначим расстояние, которое каждый человек проезжает на велосипеде, как $d_в$, а расстояние, которое он проходит пешком, как $d_п$.

Для каждого человека должно выполняться: $d_в + d_п = 36$ км

Общее время в пути $T$ для каждого человека складывается из времени движения на велосипеде ($t_в$) и времени движения пешком ($t_п$): $T = t_в + t_п = \frac{d_в}{V_в} + \frac{d_п}{V_п}$

Подставим в эту формулу $d_п = 36 - d_в$ и известные значения $T=6$ ч, $V_в=15$ км/ч, $V_п=5$ км/ч: $6 = \frac{d_в}{15} + \frac{36 - d_в}{5}$

Чтобы решить это уравнение относительно $d_в$, умножим обе части на 15: $6 \times 15 = d_в + 3 \times (36 - d_в)$ $90 = d_в + 108 - 3d_в$ $90 = 108 - 2d_в$ $2d_в = 108 - 90$ $2d_в = 18$ $d_в = 9$ км

Таким образом, если бы путешественники смогли добраться за 6 часов, каждый из них должен был бы проехать на велосипеде 9 км.

Теперь рассмотрим весь путь велосипеда. Велосипед используется тремя людьми поочередно. Суммарное расстояние, которое проехал велосипед, равно сумме расстояний, которые на нем проехал каждый из трех человек: $D_{велосипед} = 3 \times d_в = 3 \times 9 = 27$ км

Здесь возникает противоречие. Велосипед, как и люди, должен в итоге оказаться в конечном пункте, то есть преодолеть расстояние в 36 км от точки старта до точки финиша. Его общее перемещение должно составить 36 км.

Общее расстояние, пройденное любым объектом ($D_{пройденное}$), всегда больше или равно величине его перемещения ($\Delta x$). В данном случае велосипед должен переместиться на 36 км. Это означает, что общее расстояние, которое он проехал (вперед и, возможно, назад), должно быть не меньше 36 км. $D_{велосипед} \ge 36$ км

Однако, как мы рассчитали, для прибытия всех за 6 часов велосипед должен проехать всего 27 км. Получаем физически невозможное условие: $27 \text{ км} \ge 36 \text{ км}$

Это противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение о том, что трое человек могут преодолеть 36 км за 6 часов, было неверным.

Ответ: Нет, три человека не могут преодолеть расстояние 36 км не более чем за 6 часов. Для того чтобы все трое прибыли одновременно за 6 часов, каждый из них должен был бы проехать на велосипеде 9 км. Это означает, что общее расстояние, которое проехал бы велосипед, составило бы $3 \times 9 = 27$ км. Однако для того, чтобы велосипед добрался от старта до финиша, он должен преодолеть как минимум 36 км. Так как 27 км < 36 км, такая ситуация физически невозможна.

1194. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении $1:2$, а другой содержит те же металлы в отношении $2:1$. Сколько частей каждого сплава надо взять, чтобы получить третий сплав, содержащий $50\%$ каждого металла?

Пусть Металл 1 и Металл 2 – это два металла, из которых состоят сплавы.

Первый сплав:
Соотношение Металла 1 к Металлу 2 равно 1:2. Это значит, что на 1 часть Металла 1 приходится 2 части Металла 2. Общее количество частей в сплаве равно $1 + 2 = 3$.
Таким образом, доля (концентрация) Металла 1 в первом сплаве составляет $\frac{1}{3}$, а доля Металла 2 – $\frac{2}{3}$.

Второй сплав:
Соотношение Металла 1 к Металлу 2 равно 2:1. Это значит, что на 2 части Металла 1 приходится 1 часть Металла 2. Общее количество частей в сплаве равно $2 + 1 = 3$.
Таким образом, доля (концентрация) Металла 1 во втором сплаве составляет $\frac{2}{3}$, а доля Металла 2 – $\frac{1}{3}$.

Третий (итоговый) сплав:
Требуется получить сплав, в котором содержание каждого металла составляет 50%, то есть $\frac{1}{2}$.

Пусть для получения нового сплава мы взяли $x$ частей первого сплава и $y$ частей второго сплава. Тогда общая масса нового сплава составит $x + y$ частей.

Составим уравнение баланса для Металла 1.
Масса Металла 1, взятая из первого сплава, равна $\frac{1}{3}x$.
Масса Металла 1, взятая из второго сплава, равна $\frac{2}{3}y$.
Общая масса Металла 1 в новом сплаве будет суммой этих масс: $\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y$.

По условию, масса Металла 1 в новом сплаве должна составлять 50% от его общей массы, то есть $\frac{1}{2}(x+y)$.
Приравняем два выражения для массы Металла 1:
$\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y = \frac{1}{2}(x+y)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти соотношение между $x$ и $y$. Умножим обе части уравнения на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3), чтобы избавиться от дробей:
$6 \cdot (\frac{1}{3}x) + 6 \cdot (\frac{2}{3}y) = 6 \cdot \frac{1}{2}(x+y)$
$2x + 4y = 3(x+y)$
$2x + 4y = 3x + 3y$

Сгруппируем переменные $x$ на одной стороне, а $y$ на другой:
$4y - 3y = 3x - 2x$
$y = x$

Равенство $x = y$ означает, что количество частей первого и второго сплавов должно быть одинаковым. То есть, их нужно взять в отношении 1:1.

Ответ: для получения третьего сплава необходимо взять равные части каждого из двух исходных сплавов (в соотношении 1:1).