Страница 291 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1164. В астрономии используется единица измерения долготы места, называемая часом. Час долготы равен $\frac{1}{24}$ части полного оборота ($360^\circ$), на который Земля поворачивается за сутки. 1 час содержит 60 минут, а 1 минута содержит 60 секунд. Выразите час, минуту, секунду долготы в градусах, минутах и секундах.

В задаче требуется перевести астрономические единицы измерения долготы (часы, минуты и секунды) в стандартные угловые единицы (градусы, угловые минуты и угловые секунды).

Час долготы

По определению, 1 час долготы — это $\frac{1}{24}$ часть полного оборота Земли, который составляет $360^\circ$. Для нахождения значения часа долготы в градусах, разделим $360^\circ$ на 24.

$1 \text{ час долготы} = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ$

Ответ: $1$ час долготы равен $15$ градусам ($15^\circ$).

Минута долготы

Один час долготы содержит $60$ минут долготы. Поскольку мы уже знаем, что $1$ час долготы равен $15^\circ$, то $60$ минут долготы эквивалентны $15^\circ$. Чтобы найти значение одной минуты долготы в градусах, разделим $15^\circ$ на $60$.

$1 \text{ минута долготы} = \frac{15^\circ}{60} = \frac{1}{4}^\circ = 0.25^\circ$

Теперь переведем это значение в угловые минуты (аркминуты). В одном градусе $60$ угловых минут ($1^\circ = 60'$).

$1 \text{ минута долготы} = 0.25 \times 60' = 15'$

Ответ: $1$ минута долготы равна $15$ угловым минутам ($15'$).

Секунда долготы

Одна минута долготы содержит $60$ секунд долготы. Мы установили, что $1$ минута долготы равна $15$ угловым минутам ($15'$), следовательно, $60$ секунд долготы эквивалентны $15'$. Чтобы найти значение одной секунды долготы в угловых минутах, разделим $15'$ на $60$.

$1 \text{ секунда долготы} = \frac{15'}{60} = \frac{1}{4}' = 0.25'$

Теперь переведем это значение в угловые секунды (арксекунды). В одной угловой минуте $60$ угловых секунд ($1' = 60''$).

$1 \text{ секунда долготы} = 0.25 \times 60'' = 15''$

Ответ: $1$ секунда долготы равна $15$ угловым секундам ($15''$).

1165. Углы треугольника относятся между собой как $3 : 4 : 5$. Определите радианные меры этих углов с точностью до 0,01.

Пусть углы треугольника, которые мы обозначим как $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $, относятся между собой как $ 3 : 4 : 5 $. Это означает, что их можно выразить через одну переменную (коэффициент пропорциональности) $x$:
$ \alpha = 3x $
$ \beta = 4x $
$ \gamma = 5x $

Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$. В радианной мере это составляет $ \pi $ радиан. Следовательно, мы можем составить уравнение:
$ \alpha + \beta + \gamma = \pi $
Подставим выражения для углов через $x$:
$ 3x + 4x + 5x = \pi $
$ 12x = \pi $

Решив уравнение относительно $x$, получаем:
$ x = \frac{\pi}{12} $

Теперь мы можем найти точную радианную меру каждого из углов:
Первый угол: $ \alpha = 3x = 3 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4} $ рад.
Второй угол: $ \beta = 4x = 4 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} $ рад.
Третий угол: $ \gamma = 5x = 5 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} $ рад.

По условию задачи, необходимо определить радианные меры с точностью до 0,01. Для этого вычислим приближенные значения, используя $ \pi \approx 3.14159... $, и округлим их до сотых.
$ \alpha = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.78539... \approx 0.79 $
$ \beta = \frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} \approx 1.04719... \approx 1.05 $
$ \gamma = \frac{5\pi}{12} \approx \frac{5 \cdot 3.14159}{12} \approx 1.30899... \approx 1.31 $

Ответ: радианные меры углов с точностью до 0,01 равны 0,79; 1,05; 1,31.

1166. В равнобедренном треугольнике угол при вершине в 2 раза меньше угла при основании. Определите радианные меры этих углов с точностью до 0,01.

Пусть угол при основании равнобедренного треугольника равен $\alpha$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, в треугольнике есть два угла величиной $\alpha$.

Пусть угол при вершине равен $\beta$. По условию задачи, угол при вершине в 2 раза меньше угла при основании. Это можно записать в виде формулы: $\beta = \frac{\alpha}{2}$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, что в радианной мере равно $\pi$ радиан. Таким образом, для нашего треугольника справедливо следующее равенство: $\alpha + \alpha + \beta = \pi$ $2\alpha + \beta = \pi$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение для $\beta$ из условия ($\beta = \frac{\alpha}{2}$) в уравнение суммы углов: $2\alpha + \frac{\alpha}{2} = \pi$

Решим полученное уравнение относительно $\alpha$. Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{4\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \pi$ $\frac{5\alpha}{2} = \pi$

Теперь выразим $\alpha$: $5\alpha = 2\pi$ $\alpha = \frac{2\pi}{5}$

Зная $\alpha$, найдем угол при вершине $\beta$: $\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{\pi}{5}$

Осталось вычислить численные значения углов и округлить их до 0,01. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.

Радианная мера угла при основании: $\alpha = \frac{2\pi}{5} \approx \frac{2 \cdot 3,14159}{5} = \frac{6,28318}{5} \approx 1,2566$
Округляя до сотых, получаем $\alpha \approx 1,26$ радиан.

Радианная мера угла при вершине: $\beta = \frac{\pi}{5} \approx \frac{3,14159}{5} \approx 0,6283$
Округляя до сотых, получаем $\beta \approx 0,63$ радиан.

Ответ: угол при основании равен примерно $1,26$ радиан, а угол при вершине — примерно $0,63$ радиан.

1167. Шкив электромотора делает 2000 оборотов в минуту. Определите угловую скорость вращения шкива (в радианах в секунду).

Для нахождения угловой скорости вращения шкива в радианах в секунду, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить общее количество оборотов и время в секундах.

Из условия задачи известно, что шкив совершает $N = 2000$ оборотов за время $t = 1$ минута.

Переведем время в системные единицы (секунды):

$t = 1 \text{ минута} = 60 \text{ секунд}$

2. Выразить угол поворота в радианах.

Один полный оборот соответствует углу поворота в $2\pi$ радиан. Следовательно, общий угол поворота $\Delta\varphi$ за 2000 оборотов составит:

$\Delta\varphi = 2000 \cdot 2\pi = 4000\pi$ радиан.

3. Рассчитать угловую скорость.

Угловая скорость $\omega$ определяется как отношение угла поворота $\Delta\varphi$ ко времени $t$, за которое этот поворот произошел:

$\omega = \frac{\Delta\varphi}{t}$

Подставим наши значения в формулу:

$\omega = \frac{4000\pi \text{ рад}}{60 \text{ с}} = \frac{400\pi}{6} \text{ рад/с} = \frac{200\pi}{3}$ рад/с.

Ответ: $\frac{200\pi}{3}$ рад/с.

1168. Какую линейную скорость имеет точка, удалённая от оси вращения на 2 см, если угловая скорость вращения равна $ \frac{\pi}{2} $ радиана в секунду?

Для определения линейной скорости точки, вращающейся вокруг оси, используется формула, связывающая линейную скорость v, угловую скорость ω и расстояние от точки до оси вращения r (радиус).

Формула имеет вид:
$v = \omega \cdot r$

В условии задачи нам даны:
Расстояние от точки до оси вращения (радиус): $r = 2 \text{ см}$.
Угловая скорость вращения: $\omega = \frac{\pi}{2} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$.

Подставим данные значения в формулу:
$v = \frac{\pi}{2} \cdot 2$

Выполнив умножение, получаем:
$v = \pi \frac{\text{см}}{\text{с}}$

Линейная скорость точки равна $\pi$ см/с. Для получения численного значения можно использовать приближение $\pi \approx 3,14$, тогда скорость составит примерно $3,14$ см/с.

Ответ: $\pi$ см/с.

1169. Запишите все углы, которым соответствуют точки пересечения единичной окружности:

а) с осями координат;

б) с биссектрисами координатных углов.

а) Единичная окружность задается в декартовой системе координат уравнением $x^2 + y^2 = 1$. Найдем ее точки пересечения с осями координат и соответствующие им углы. Углы отсчитываются от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.

Пересечение с осью абсцисс (Ox) происходит при $y=0$. Подставив это значение в уравнение окружности, получим $x^2=1$, что дает $x=\pm1$. Таким образом, мы имеем две точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.
- Точке $(1, 0)$ на положительной полуоси Ox соответствует угол $\alpha = 0$ радиан. Учитывая, что полный оборот составляет $2\pi$ радиан, все углы, соответствующие этой точке, задаются формулой $\alpha = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- Точке $(-1, 0)$ на отрицательной полуоси Ox соответствует угол $\alpha = \pi$ радиан. Все углы для этой точки задаются формулой $\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пересечение с осью ординат (Oy) происходит при $x=0$. Подставив это значение в уравнение, получим $y^2=1$, что дает $y=\pm1$. Таким образом, мы имеем еще две точки пересечения: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.
- Точке $(0, 1)$ на положительной полуоси Oy соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$ радиан. Все углы для этой точки: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- Точке $(0, -1)$ на отрицательной полуоси Oy соответствует угол $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ радиан. Все углы для этой точки: $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Все четыре полученные серии углов можно объединить. Точки на окружности $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$ расположены с шагом в $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Следовательно, все множество углов можно представить единой формулой, начиная с $0$ и прибавляя целое число раз по $\frac{\pi}{2}$.
Общая формула: $\alpha = 0 + k \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Биссектрисы координатных углов — это прямые, которые делят координатные четверти пополам. Таких прямых две: $y=x$ (биссектриса I и III четвертей) и $y=-x$ (биссектриса II и IV четвертей). Найдем точки их пересечения с единичной окружностью.

1. Пересечение с прямой $y=x$.
Подставим $y=x$ в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$:
$x^2 + x^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку $y=x$, получаем две точки пересечения:
- $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка лежит в первой четверти и соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Общая формула для углов: $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка лежит в третьей четверти и соответствует углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$. Общая формула для углов: $\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Пересечение с прямой $y=-x$.
Подставим $y=-x$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$:
$x^2 + (-x)^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку $y=-x$, получаем еще две точки пересечения:
- $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка лежит во второй четверти и соответствует углу $\alpha = \frac{3\pi}{4}$. Общая формула для углов: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка лежит в четвертой четверти и соответствует углу $\alpha = \frac{7\pi}{4}$. Общая формула для углов: $\alpha = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Всего мы получили четыре точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ (в пределах одного оборота). Эти углы также расположены на окружности с равным шагом. Разница между соседними углами составляет $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, все четыре серии углов можно объединить в одну общую формулу, взяв за начальный угол $\frac{\pi}{4}$ и прибавляя к нему целое число раз по $\frac{\pi}{2}$.
Общая формула: $\alpha = \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

1170. Как расположены на единичной окружности точки, соответствующие углам:

а) $\alpha$ и $-\alpha$;

б) $\alpha$ и $\alpha + \pi$;

в) $\alpha + \pi$ и $\alpha - \pi$;

г) $\alpha + 2\pi k$ и $\alpha$;

д) $\frac{\pi}{2} - \alpha$ и $\frac{\pi}{2} + \alpha$;

е) $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ и $\frac{3\pi}{2} + \alpha$, где $k$ — некоторое целое число?

а) $\alpha$ и $-\alpha$
Пусть точка $P_1$ на единичной окружности соответствует углу $\alpha$. Её координаты $(x_1, y_1) = (\cos\alpha, \sin\alpha)$. Точка $P_2$, соответствующая углу $-\alpha$, имеет координаты $(x_2, y_2) = (\cos(-\alpha), \sin(-\alpha))$. Используя свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, получаем: $x_2 = \cos(-\alpha) = \cos\alpha = x_1$ и $y_2 = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha = -y_1$. Таким образом, точки $P_1(\cos\alpha, \sin\alpha)$ и $P_2(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ имеют одинаковые абсциссы и противоположные по знаку ординаты. Это означает, что точки симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: точки симметричны относительно оси абсцисс.

б) $\alpha$ и $\alpha + \pi$
Пусть точка $P_1$ на единичной окружности соответствует углу $\alpha$ и имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Точка $P_2$ соответствует углу $\alpha + \pi$. Её координаты $(\cos(\alpha + \pi), \sin(\alpha + \pi))$. По формулам приведения: $\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$ и $\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$. Следовательно, координаты точки $P_2$ равны $(-\cos\alpha, -\sin\alpha)$. Координаты точек $P_1$ и $P_2$ противоположны по знаку. Это означает, что точки расположены на одной прямой, проходящей через начало координат, и на равном расстоянии от него. Такие точки называются диаметрально противоположными или симметричными относительно начала координат.
Ответ: точки диаметрально противоположны (симметричны относительно начала координат).

в) $\alpha + \pi$ и $\alpha - \pi$
Разность между этими двумя углами составляет $(\alpha + \pi) - (\alpha - \pi) = 2\pi$. Угол $2\pi$ соответствует полному обороту по окружности. Точки на единичной окружности, соответствующие углам, которые отличаются на целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — целое), совпадают. В данном случае $k=1$. Таким образом, точки, соответствующие углам $\alpha + \pi$ и $\alpha - \pi$, совпадают.
Ответ: точки совпадают.

г) $\alpha + 2\pi k$ и $\alpha$, где $k$ — некоторое целое число
Период тригонометрических функций синус и косинус равен $2\pi$. Это означает, что прибавление к углу величины $2\pi k$ (где $k$ — любое целое число) не меняет значения синуса и косинуса этого угла. $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos\alpha$ $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha$ Следовательно, точки на единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$ и $\alpha + 2\pi k$, имеют одинаковые координаты и, значит, совпадают.
Ответ: точки совпадают.

д) $\frac{\pi}{2} - \alpha$ и $\frac{\pi}{2} + \alpha$
Пусть $P_1$ — точка, соответствующая углу $\frac{\pi}{2} - \alpha$. Её координаты: $(\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha), \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha))$. По формулам приведения это $(\sin\alpha, \cos\alpha)$. Пусть $P_2$ — точка, соответствующая углу $\frac{\pi}{2} + \alpha$. Её координаты: $(\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha), \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha))$. По формулам приведения это $(-\sin\alpha, \cos\alpha)$. Сравнивая координаты точек $P_1(\sin\alpha, \cos\alpha)$ и $P_2(-\sin\alpha, \cos\alpha)$, мы видим, что их ординаты (координаты y) одинаковы, а абсциссы (координаты x) противоположны по знаку. Это означает, что точки симметричны относительно оси ординат (оси Oy).
Ответ: точки симметричны относительно оси ординат.

е) $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ и $\frac{3\pi}{2} + \alpha$
Пусть $P_1$ — точка, соответствующая углу $\frac{3\pi}{2} - \alpha$. Её координаты: $(\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha), \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha))$. По формулам приведения это $(-\sin\alpha, -\cos\alpha)$. Пусть $P_2$ — точка, соответствующая углу $\frac{3\pi}{2} + \alpha$. Её координаты: $(\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha), \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha))$. По формулам приведения это $(\sin\alpha, -\cos\alpha)$. Сравнивая координаты точек $P_1(-\sin\alpha, -\cos\alpha)$ и $P_2(\sin\alpha, -\cos\alpha)$, мы видим, что их ординаты (координаты y) одинаковы, а абсциссы (координаты x) противоположны по знаку. Это означает, что точки симметричны относительно оси ординат (оси Oy).
Ответ: точки симметричны относительно оси ординат.

1171. Вычислите:

a) $2 \sin \frac{\pi}{6} + 3 \cos \frac{\pi}{6} - 2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - 1,5 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} + \frac{3}{\sin \frac{\pi}{6}} + \frac{1}{\cos \frac{\pi}{6}};$

б) $2 \sin 45^\circ + 2 \cos 45^\circ - 3 \operatorname{tg} 45^\circ - 10 \operatorname{ctg} 45^\circ + \frac{2}{\sin 45^\circ} - \frac{4}{\cos 45^\circ};$

в) $\sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3} - 2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} - 1,5 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} + \frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}} + \frac{3}{\sin \frac{\pi}{3}};$

г) $\sin \frac{\pi}{2} - 6 \cos \frac{\pi}{2} + 3 \operatorname{tg} 0 + \frac{5}{\cos 0^\circ};$

д) $2 \sin 180^\circ - 3 \cos 180^\circ + 4 \operatorname{tg} 180^\circ + \frac{2}{\cos 180^\circ};$

е) $3 \sin \frac{3\pi}{2} - 4 \cos \frac{3\pi}{2} + 5 \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{\sin \frac{3\pi}{2}};$

ж) $\frac{\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3} - \cos \frac{\pi}{4} \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}{\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{4} - \sin^2 \frac{\pi}{2} \cos^4 \frac{3\pi}{2}};$

3) $\frac{\frac{1}{\cos (-30^\circ)} + \frac{1}{\sin (-30^\circ)}}{\sin^2 (-60^\circ) + \frac{1}{\sin (-30^\circ)}}.$

а) $2 \sin\frac{\pi}{6} + 3 \cos\frac{\pi}{6} - 2 \tan\frac{\pi}{6} - 1,5 \cot\frac{\pi}{6} + \frac{3}{\sin\frac{\pi}{6}} + \frac{1}{\cos\frac{\pi}{6}}$

Для вычисления данного выражения подставим значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$):

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - 1,5 \cdot \sqrt{3} + \frac{3}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упростим каждый член выражения:

$1 + \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{3}{2}\sqrt{3} + 6 + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(1 + 6) + (\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}})$

Как видно, слагаемые с корнями взаимно уничтожаются:

$7 + 0 + 0 = 7$

Ответ: 7

б) $2 \sin 45^\circ + 2 \cos 45^\circ - 3 \tan 45^\circ - 10 \cot 45^\circ + \frac{2}{\sin 45^\circ} - \frac{4}{\cos 45^\circ}$

Подставим значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45^\circ = 1$

$\cot 45^\circ = 1$

Подставляем в выражение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot 1 - 10 \cdot 1 + \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Упрощаем:

$\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3 - 10 + \frac{4}{\sqrt{2}} - \frac{8}{\sqrt{2}}$

Объединяем слагаемые:

$2\sqrt{2} - 13 - \frac{4}{\sqrt{2}}$

Для упрощения дроби $\frac{4}{\sqrt{2}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Подставляем обратно в выражение:

$2\sqrt{2} - 13 - 2\sqrt{2}$

Слагаемые $2\sqrt{2}$ и $-2\sqrt{2}$ взаимно уничтожаются:

$-13$

Ответ: -13

в) $\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3} - 2 \tan\frac{\pi}{3} - 1,5 \cot\frac{\pi}{3} + \frac{1}{\cos\frac{\pi}{3}} + \frac{3}{\sin\frac{\pi}{3}}$

Подставим значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$):

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

$\cot\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Подставляем значения в выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} - 1,5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упрощаем:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} - \frac{3}{2\sqrt{3}} + 2 + \frac{6}{\sqrt{3}}$

Упростим дроби с иррациональностью в знаменателе: $\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 + 2\sqrt{3}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(\frac{1}{2} + 2) + (\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{3})$

$2,5 + 0 = 2,5$

Ответ: 2,5

г) $\sin\frac{\pi}{2} - 6 \cos\frac{\pi}{2} + 3 \tan 0 + \frac{5}{\cos 0^\circ}$

Подставим значения тригонометрических функций:

$\sin\frac{\pi}{2} = 1$

$\cos\frac{\pi}{2} = 0$

$\tan 0 = 0$

$\cos 0^\circ = 1$

Подставляем в выражение:

$1 - 6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + \frac{5}{1}$

Выполняем вычисления:

$1 - 0 + 0 + 5 = 6$

Ответ: 6

д) $2 \sin 180^\circ - 3 \cos 180^\circ + 4 \tan 180^\circ + \frac{2}{\cos 180^\circ}$

Подставим значения тригонометрических функций для угла $180^\circ$ (или $\pi$ радиан):

$\sin 180^\circ = 0$

$\cos 180^\circ = -1$

$\tan 180^\circ = 0$

Подставляем в выражение:

$2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + \frac{2}{-1}$

Выполняем вычисления:

$0 - (-3) + 0 - 2 = 3 - 2 = 1$

Ответ: 1

е) $3 \sin\frac{3\pi}{2} - 4 \cos\frac{3\pi}{2} + 5 \cot\frac{3\pi}{2} + \frac{1}{\sin\frac{3\pi}{2}}$

Подставим значения тригонометрических функций для угла $\frac{3\pi}{2}$ (что соответствует $270^\circ$):

$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$

$\cos\frac{3\pi}{2} = 0$

$\cot\frac{3\pi}{2} = \frac{\cos(3\pi/2)}{\sin(3\pi/2)} = \frac{0}{-1} = 0$

Подставляем в выражение:

$3 \cdot (-1) - 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + \frac{1}{-1}$

Выполняем вычисления:

$-3 - 0 + 0 - 1 = -4$

Ответ: -4

ж) $\frac{\sin\frac{\pi}{4} \cos\frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{4} \sin(-\frac{\pi}{3})}{\tan^2\frac{\pi}{4} - \sin^2\frac{\pi}{2} \cos^4\frac{3\pi}{2}}$

Сначала вычислим числитель. Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

Числитель: $\sin\frac{\pi}{4} \cos\frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{4} (-\sin\frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{4} \sin\frac{\pi}{3}$.

Подставим известные значения: $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Числитель = $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

Теперь вычислим знаменатель:

Знаменатель: $\tan^2\frac{\pi}{4} - \sin^2\frac{\pi}{2} \cos^4\frac{3\pi}{2}$.

Знаем, что $\tan\frac{\pi}{4} = 1$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$.

Знаменатель = $1^2 - (1^2 \cdot 0^4) = 1 - 0 = 1$.

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{1} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

з) $\frac{\frac{1}{\cos(-30^\circ)} + \frac{1}{\sin(-30^\circ)}}{\sin^2(-60^\circ) + \frac{1}{\sin(-30^\circ)}}$

Сначала найдем значения тригонометрических функций для отрицательных углов, используя свойства четности и нечетности ($\cos(-x) = \cos(x)$, $\sin(-x) = -\sin(x)$):

$\cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin^2(-60^\circ) = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{-\frac{1}{2}}}{\frac{3}{4} + \frac{1}{-\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} - 2}{\frac{3}{4} - 2}$

Упростим числитель и знаменатель дроби отдельно.

Числитель: $\frac{2}{\sqrt{3}} - 2 = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.

Знаменатель: $\frac{3}{4} - 2 = \frac{3}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{5}{4}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{2 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{-\frac{5}{4}} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{3}} \cdot (-\frac{4}{5}) = -\frac{8(1 - \sqrt{3})}{5\sqrt{3}} = \frac{8(\sqrt{3} - 1)}{5\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{8(\sqrt{3} - 1) \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{8(3 - \sqrt{3})}{5 \cdot 3} = \frac{8(3 - \sqrt{3})}{15}$

Ответ: $\frac{8(3 - \sqrt{3})}{15}$