Номер 1169, страница 291 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1169. Запишите все углы, которым соответствуют точки пересечения единичной окружности:

а) с осями координат;

б) с биссектрисами координатных углов.

а) Единичная окружность задается в декартовой системе координат уравнением $x^2 + y^2 = 1$. Найдем ее точки пересечения с осями координат и соответствующие им углы. Углы отсчитываются от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.

Пересечение с осью абсцисс (Ox) происходит при $y=0$. Подставив это значение в уравнение окружности, получим $x^2=1$, что дает $x=\pm1$. Таким образом, мы имеем две точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.
- Точке $(1, 0)$ на положительной полуоси Ox соответствует угол $\alpha = 0$ радиан. Учитывая, что полный оборот составляет $2\pi$ радиан, все углы, соответствующие этой точке, задаются формулой $\alpha = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- Точке $(-1, 0)$ на отрицательной полуоси Ox соответствует угол $\alpha = \pi$ радиан. Все углы для этой точки задаются формулой $\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пересечение с осью ординат (Oy) происходит при $x=0$. Подставив это значение в уравнение, получим $y^2=1$, что дает $y=\pm1$. Таким образом, мы имеем еще две точки пересечения: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.
- Точке $(0, 1)$ на положительной полуоси Oy соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$ радиан. Все углы для этой точки: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- Точке $(0, -1)$ на отрицательной полуоси Oy соответствует угол $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ радиан. Все углы для этой точки: $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Все четыре полученные серии углов можно объединить. Точки на окружности $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$ расположены с шагом в $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Следовательно, все множество углов можно представить единой формулой, начиная с $0$ и прибавляя целое число раз по $\frac{\pi}{2}$.
Общая формула: $\alpha = 0 + k \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Биссектрисы координатных углов — это прямые, которые делят координатные четверти пополам. Таких прямых две: $y=x$ (биссектриса I и III четвертей) и $y=-x$ (биссектриса II и IV четвертей). Найдем точки их пересечения с единичной окружностью.

1. Пересечение с прямой $y=x$.
Подставим $y=x$ в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$:
$x^2 + x^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку $y=x$, получаем две точки пересечения:
- $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка лежит в первой четверти и соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Общая формула для углов: $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка лежит в третьей четверти и соответствует углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$. Общая формула для углов: $\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Пересечение с прямой $y=-x$.
Подставим $y=-x$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$:
$x^2 + (-x)^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку $y=-x$, получаем еще две точки пересечения:
- $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка лежит во второй четверти и соответствует углу $\alpha = \frac{3\pi}{4}$. Общая формула для углов: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка лежит в четвертой четверти и соответствует углу $\alpha = \frac{7\pi}{4}$. Общая формула для углов: $\alpha = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Всего мы получили четыре точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ (в пределах одного оборота). Эти углы также расположены на окружности с равным шагом. Разница между соседними углами составляет $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, все четыре серии углов можно объединить в одну общую формулу, взяв за начальный угол $\frac{\pi}{4}$ и прибавляя к нему целое число раз по $\frac{\pi}{2}$.
Общая формула: $\alpha = \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.