Номер 1170, страница 291 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1170. Как расположены на единичной окружности точки, соответствующие углам:

а) $\alpha$ и $-\alpha$;

б) $\alpha$ и $\alpha + \pi$;

в) $\alpha + \pi$ и $\alpha - \pi$;

г) $\alpha + 2\pi k$ и $\alpha$;

д) $\frac{\pi}{2} - \alpha$ и $\frac{\pi}{2} + \alpha$;

е) $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ и $\frac{3\pi}{2} + \alpha$, где $k$ — некоторое целое число?

а) $\alpha$ и $-\alpha$
Пусть точка $P_1$ на единичной окружности соответствует углу $\alpha$. Её координаты $(x_1, y_1) = (\cos\alpha, \sin\alpha)$. Точка $P_2$, соответствующая углу $-\alpha$, имеет координаты $(x_2, y_2) = (\cos(-\alpha), \sin(-\alpha))$. Используя свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, получаем: $x_2 = \cos(-\alpha) = \cos\alpha = x_1$ и $y_2 = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha = -y_1$. Таким образом, точки $P_1(\cos\alpha, \sin\alpha)$ и $P_2(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ имеют одинаковые абсциссы и противоположные по знаку ординаты. Это означает, что точки симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: точки симметричны относительно оси абсцисс.

б) $\alpha$ и $\alpha + \pi$
Пусть точка $P_1$ на единичной окружности соответствует углу $\alpha$ и имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Точка $P_2$ соответствует углу $\alpha + \pi$. Её координаты $(\cos(\alpha + \pi), \sin(\alpha + \pi))$. По формулам приведения: $\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$ и $\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$. Следовательно, координаты точки $P_2$ равны $(-\cos\alpha, -\sin\alpha)$. Координаты точек $P_1$ и $P_2$ противоположны по знаку. Это означает, что точки расположены на одной прямой, проходящей через начало координат, и на равном расстоянии от него. Такие точки называются диаметрально противоположными или симметричными относительно начала координат.
Ответ: точки диаметрально противоположны (симметричны относительно начала координат).

в) $\alpha + \pi$ и $\alpha - \pi$
Разность между этими двумя углами составляет $(\alpha + \pi) - (\alpha - \pi) = 2\pi$. Угол $2\pi$ соответствует полному обороту по окружности. Точки на единичной окружности, соответствующие углам, которые отличаются на целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — целое), совпадают. В данном случае $k=1$. Таким образом, точки, соответствующие углам $\alpha + \pi$ и $\alpha - \pi$, совпадают.
Ответ: точки совпадают.

г) $\alpha + 2\pi k$ и $\alpha$, где $k$ — некоторое целое число
Период тригонометрических функций синус и косинус равен $2\pi$. Это означает, что прибавление к углу величины $2\pi k$ (где $k$ — любое целое число) не меняет значения синуса и косинуса этого угла. $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos\alpha$ $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha$ Следовательно, точки на единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$ и $\alpha + 2\pi k$, имеют одинаковые координаты и, значит, совпадают.
Ответ: точки совпадают.

д) $\frac{\pi}{2} - \alpha$ и $\frac{\pi}{2} + \alpha$
Пусть $P_1$ — точка, соответствующая углу $\frac{\pi}{2} - \alpha$. Её координаты: $(\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha), \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha))$. По формулам приведения это $(\sin\alpha, \cos\alpha)$. Пусть $P_2$ — точка, соответствующая углу $\frac{\pi}{2} + \alpha$. Её координаты: $(\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha), \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha))$. По формулам приведения это $(-\sin\alpha, \cos\alpha)$. Сравнивая координаты точек $P_1(\sin\alpha, \cos\alpha)$ и $P_2(-\sin\alpha, \cos\alpha)$, мы видим, что их ординаты (координаты y) одинаковы, а абсциссы (координаты x) противоположны по знаку. Это означает, что точки симметричны относительно оси ординат (оси Oy).
Ответ: точки симметричны относительно оси ординат.

е) $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ и $\frac{3\pi}{2} + \alpha$
Пусть $P_1$ — точка, соответствующая углу $\frac{3\pi}{2} - \alpha$. Её координаты: $(\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha), \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha))$. По формулам приведения это $(-\sin\alpha, -\cos\alpha)$. Пусть $P_2$ — точка, соответствующая углу $\frac{3\pi}{2} + \alpha$. Её координаты: $(\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha), \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha))$. По формулам приведения это $(\sin\alpha, -\cos\alpha)$. Сравнивая координаты точек $P_1(-\sin\alpha, -\cos\alpha)$ и $P_2(\sin\alpha, -\cos\alpha)$, мы видим, что их ординаты (координаты y) одинаковы, а абсциссы (координаты x) противоположны по знаку. Это означает, что точки симметричны относительно оси ординат (оси Oy).
Ответ: точки симметричны относительно оси ординат.