Номер 1177, страница 292 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1177. Упростите выражение:

а) $\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha;$

б) $\sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha.$

а)

Рассмотрим выражение $ \sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha $.

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $ \cos^2 \alpha $:

$ \sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + 1) $

Этот путь не ведет к упрощению. Попробуем сгруппировать первые два слагаемых и вынести за скобки $ \sin^2 \alpha $:

$ \sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Выражение примет вид:

$ \sin^2 \alpha \cdot 1 + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $

Снова применяем основное тригонометрическое тождество:

$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $

Ответ: 1.

б)

Рассмотрим выражение $ \sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha $.

Это выражение является полным квадратом. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.

В данном случае пусть $ a = \sin^2 \alpha $ и $ b = \cos^2 \alpha $. Тогда:

$ a^2 = (\sin^2 \alpha)^2 = \sin^4 \alpha $

$ b^2 = (\cos^2 \alpha)^2 = \cos^4 \alpha $

$ 2ab = 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $

Следовательно, исходное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$ \sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем:

$ (1)^2 = 1 $

Ответ: 1.