Номер 1174, страница 292 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1174. Определите знак числа:

a) $\frac{\cos 10 \sin 7 - \operatorname{tg} 10}{\cos (-\sqrt{2}) \operatorname{ctg}(-4)};$

б) $\frac{\sin (-3) \cos 4 \operatorname{tg}(-5)}{\operatorname{ctg} 6};$

в) $\frac{(\sin 3 \cos 4 - \sin 4 \cos 3)(\sin 3 \cos 4 + \sin 4 \cos 3)}{(\cos 3 \cos 4 - \sin 3 \sin 4)(\cos 3 \cos 4 + \sin 3 \sin 4)}.$

а) Рассмотрим выражение $ \frac{\cos 10 \sin 7 - \tg 10}{\cos(-\sqrt{2}) \ctg(-4)} $.

Для определения знака выражения, определим знаки каждого сомножителя и слагаемого. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.

Числитель: $ \cos 10 \sin 7 - \tg 10 $

1. Определим знак $ \cos 10 $. Поскольку $ 3\pi \approx 9.42 $ и $ 7\pi/2 \approx 10.99 $, то $ 3\pi < 10 < 7\pi/2 $. Угол 10 радиан находится в IV четверти. В IV четверти косинус положителен, значит $ \cos 10 > 0 $.

2. Определим знак $ \sin 7 $. Поскольку $ 2\pi \approx 6.28 $ и $ 5\pi/2 \approx 7.85 $, то $ 2\pi < 7 < 5\pi/2 $. Угол 7 радиан находится в I четверти. В I четверти синус положителен, значит $ \sin 7 > 0 $.

3. Определим знак $ \tg 10 $. Угол 10 радиан находится в IV четверти, где тангенс отрицателен ($ \tg 10 = \sin 10 / \cos 10 $, где $ \sin 10 < 0 $ и $ \cos 10 > 0 $). Значит, $ \tg 10 < 0 $.

Теперь определим знак числителя. Произведение $ \cos 10 \sin 7 $ положительно, так как оба множителя положительны. Выражение $ -\tg 10 $ также положительно, так как $ \tg 10 < 0 $. Числитель представляет собой сумму двух положительных чисел $ (\cos 10 \sin 7) + (-\tg 10) $, следовательно, числитель положителен.

Знаменатель: $ \cos(-\sqrt{2}) \ctg(-4) $

1. Определим знак $ \cos(-\sqrt{2}) $. Функция косинус — четная, поэтому $ \cos(-\sqrt{2}) = \cos(\sqrt{2}) $. Приближенное значение $ \sqrt{2} \approx 1.414 $. Поскольку $ 0 < 1.414 < \pi/2 \approx 1.57 $, угол $ \sqrt{2} $ радиан находится в I четверти. В I четверти косинус положителен, значит $ \cos(-\sqrt{2}) > 0 $.

2. Определим знак $ \ctg(-4) $. Функция котангенс — нечетная, поэтому $ \ctg(-4) = -\ctg(4) $. Поскольку $ \pi \approx 3.14 $ и $ 3\pi/2 \approx 4.71 $, то $ \pi < 4 < 3\pi/2 $. Угол 4 радиана находится в III четверти. В III четверти котангенс положителен, значит $ \ctg(4) > 0 $. Следовательно, $ \ctg(-4) = -\ctg(4) < 0 $.

Знаменатель является произведением положительного числа $ \cos(-\sqrt{2}) $ и отрицательного числа $ \ctg(-4) $, поэтому знаменатель отрицателен.

Итоговый знак дроби: Числитель положителен (+), знаменатель отрицателен (–). Дробь $ \frac{(+)}{(-)} $ отрицательна. Следовательно, знак всего выражения — минус.

Ответ: знак минус.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin(-3) \cos 4 \tg(-5)}{\ctg 6} $.

Определим знак каждого множителя в числителе и знаменателе.

1. $ \sin(-3) $: Функция синус нечетная, $ \sin(-3) = -\sin(3) $. Поскольку $ \pi/2 \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14 $, угол 3 радиана находится во II четверти, где синус положителен ($ \sin 3 > 0 $). Следовательно, $ \sin(-3) < 0 $.

2. $ \cos 4 $: Поскольку $ \pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71 $, угол 4 радиана находится в III четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos 4 < 0 $.

3. $ \tg(-5) $: Функция тангенс нечетная, $ \tg(-5) = -\tg(5) $. Поскольку $ 3\pi/2 \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28 $, угол 5 радиан находится в IV четверти, где тангенс отрицателен ($ \tg 5 < 0 $). Следовательно, $ \tg(-5) = -\tg(5) > 0 $.

4. $ \ctg 6 $: Поскольку $ 3\pi/2 \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28 $, угол 6 радиан находится в IV четверти, где котангенс отрицателен. Следовательно, $ \ctg 6 < 0 $.

Теперь определим знаки числителя и знаменателя. Числитель: $ \sin(-3) \cos 4 \tg(-5) $. Знаки множителей: $ (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+) $. Числитель положителен.

Знаменатель: $ \ctg 6 $. Знаменатель отрицателен (–).

Итоговый знак дроби: $ \frac{(+)}{(-)} = (-) $. Следовательно, знак всего выражения — минус.

Ответ: знак минус.

в) Рассмотрим выражение $ \frac{(\sin 3 \cos 4 - \sin 4 \cos 3)(\sin 3 \cos 4 + \sin 4 \cos 3)}{(\cos 3 \cos 4 - \sin 3 \sin 4)(\cos 3 \cos 4 + \sin 3 \sin 4)} $.

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрическими формулами синуса и косинуса суммы и разности углов: $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta $ и $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta $.

Упростим числитель. Выражение в первой скобке является синусом разности: $ \sin 3 \cos 4 - \cos 3 \sin 4 = \sin(3-4) = \sin(-1) $. Выражение во второй скобке является синусом суммы: $ \sin 3 \cos 4 + \cos 3 \sin 4 = \sin(3+4) = \sin(7) $. Таким образом, числитель равен $ \sin(-1)\sin(7) $.

Упростим знаменатель. Выражение в первой скобке является косинусом суммы: $ \cos 3 \cos 4 - \sin 3 \sin 4 = \cos(3+4) = \cos(7) $. Выражение во второй скобке является косинусом разности: $ \cos 3 \cos 4 + \sin 3 \sin 4 = \cos(3-4) = \cos(-1) $. Таким образом, знаменатель равен $ \cos(7)\cos(-1) $.

Исходное выражение можно переписать в виде:

$ \frac{\sin(-1)\sin(7)}{\cos(7)\cos(-1)} = \frac{\sin(-1)}{\cos(-1)} \cdot \frac{\sin(7)}{\cos(7)} = \tg(-1) \cdot \tg(7) $.

Теперь определим знаки множителей:

1. Определим знак $ \tg(-1) $. Функция тангенс нечетная, поэтому $ \tg(-1) = -\tg(1) $. Поскольку $ 0 < 1 < \pi/2 \approx 1.57 $, угол 1 радиан находится в I четверти. В I четверти тангенс положителен, $ \tg(1) > 0 $. Следовательно, $ \tg(-1) < 0 $.

2. Определим знак $ \tg(7) $. Поскольку $ 2\pi \approx 6.28 < 7 < 5\pi/2 \approx 7.85 $, угол 7 радиан находится в I четверти. В I четверти тангенс положителен, $ \tg(7) > 0 $.

Знак всего выражения определяется произведением знаков $ \tg(-1) $ и $ \tg(7) $: $ (-) \cdot (+) = (-) $.

Следовательно, знак всего выражения — минус.

Ответ: знак минус.